Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3654
2019-06-13 
Цифры некоторого семнадцатизначного числа записываются в обратном порядке. Полученное число складывается с первоначальным. Докажите, что хотя бы одна из цифр их суммы будет четной.
Решение:
Предположим противное. Запишем два числа одно под другим и будем складывать их столбиком. Так как последняя цифра суммы нечетная, то при сложении первых цифр также получится нечетная сумма. Поэтому в этот разряд из предыдущего при сложении не переходит единица. Это означает, что сумма цифр во втором, а следовательно, и в предпоследнем столбце меньше 10. Заметим, что из второго столбика в третий разряд также не переходит единица, - это могло быть, лишь если сумма цифр второго разряда была бы равна 9, а сумма цифр первого разряда - больше 10, но тогда во втором разряде суммы стоял бы 0.
Отбросив теперь у данного числа две последние и две первые цифры и проведя те же рассуждения для получившихся 13-значных, затем 9-значных и, наконец, 5-значных чисел, получим, что в средний разряд суммы из предыдущего не может перейти единица, а так как цифры, стоящие в средних разрядах, одинаковые, то средняя цифра суммы окажется четной.
Как видно из решения, утверждение задачи верно для $4k + 1$ - значных чисел. Простые примеры $(12 + 21, 506 + 605, \cdots)$ показывают, что для чисел с другим числом знаков оно не верно.
Цифры некоторого семнадцатизначного числа записываются в обратном порядке. Полученное число складывается с первоначальным. Докажите, что хотя бы одна из цифр их суммы будет четной.
Решение:
Предположим противное. Запишем два числа одно под другим и будем складывать их столбиком. Так как последняя цифра суммы нечетная, то при сложении первых цифр также получится нечетная сумма. Поэтому в этот разряд из предыдущего при сложении не переходит единица. Это означает, что сумма цифр во втором, а следовательно, и в предпоследнем столбце меньше 10. Заметим, что из второго столбика в третий разряд также не переходит единица, - это могло быть, лишь если сумма цифр второго разряда была бы равна 9, а сумма цифр первого разряда - больше 10, но тогда во втором разряде суммы стоял бы 0.
Отбросив теперь у данного числа две последние и две первые цифры и проведя те же рассуждения для получившихся 13-значных, затем 9-значных и, наконец, 5-значных чисел, получим, что в средний разряд суммы из предыдущего не может перейти единица, а так как цифры, стоящие в средних разрядах, одинаковые, то средняя цифра суммы окажется четной.
Как видно из решения, утверждение задачи верно для $4k + 1$ - значных чисел. Простые примеры $(12 + 21, 506 + 605, \cdots)$ показывают, что для чисел с другим числом знаков оно не верно.
