Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3656
2019-06-13 
Пять отрезков таковы, что из любых трех можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.
Решение:
Пусть $a \leq b \leq c \leq d \leq e$ - длины данных отрезков. Предположим, что ни из каких трех из этих отрезков нельзя составить остроугольный треугольник. Тогда, так как в неостроугольном треугольнике квадрат длины наибольшей стороны больше или равен сумме квадратов длин других сторон, справедливые неравенства $c^2 \geq a^2 + b^2, d^2 \geq c^2 + b^2, e^2 \geq d^2 + c^2$.
Сложив их, получим $e^2 \geq a^2 + 2b^2 + c^2 \geq a^2 + 2ab + b^2$, откуда $e \geq a + b$, т. е. из отрезков длины $e, a$ и $b$ нельзя составить треугольник.
Пять отрезков таковы, что из любых трех можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.
Решение:
Пусть $a \leq b \leq c \leq d \leq e$ - длины данных отрезков. Предположим, что ни из каких трех из этих отрезков нельзя составить остроугольный треугольник. Тогда, так как в неостроугольном треугольнике квадрат длины наибольшей стороны больше или равен сумме квадратов длин других сторон, справедливые неравенства $c^2 \geq a^2 + b^2, d^2 \geq c^2 + b^2, e^2 \geq d^2 + c^2$.
Сложив их, получим $e^2 \geq a^2 + 2b^2 + c^2 \geq a^2 + 2ab + b^2$, откуда $e \geq a + b$, т. е. из отрезков длины $e, a$ и $b$ нельзя составить треугольник.
