Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3663
2019-06-15 
На карточках написаны все пятизначные числа от 11111 до 99999 включительно. Затем эти карточки положены в одну цепочку в произвольном порядке. Докажите, что получившееся 444 445-значное число не может быть степенью двойки.
Решение:
Мы докажем, что любое такое число делится на 11111 и, следовательно, степенью двойки не является. Для этого заметим, что 105 при делении на 11111 дает в остатке $1 \cdot 10^5 = 9 \cdot 11111 + 1$. Поэтому любое из полученных чисел дает при делении на 11111 тот же остаток, что и сумма всех чисел на карточках.
Нетрудно показать также, что любое такое число делится на 9. Но эта сумма, как легко видеть, равна $\frac{11111 + 99999}{2} (10^5 - 1)$, т. е. делится на 11111.
На карточках написаны все пятизначные числа от 11111 до 99999 включительно. Затем эти карточки положены в одну цепочку в произвольном порядке. Докажите, что получившееся 444 445-значное число не может быть степенью двойки.
Решение:
Мы докажем, что любое такое число делится на 11111 и, следовательно, степенью двойки не является. Для этого заметим, что 105 при делении на 11111 дает в остатке $1 \cdot 10^5 = 9 \cdot 11111 + 1$. Поэтому любое из полученных чисел дает при делении на 11111 тот же остаток, что и сумма всех чисел на карточках.
Нетрудно показать также, что любое такое число делится на 9. Но эта сумма, как легко видеть, равна $\frac{11111 + 99999}{2} (10^5 - 1)$, т. е. делится на 11111.
