Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 392
2014-06-07 
Функции $f, g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ непостоянны и удовлетворяют двум тождествам
$f(x + y) \equiv f(x)g(y) + g(x)f(y)$,
$g(x + y) = g(x)g(y) - f(x)f(y)$,
$x, y \in \mathbf{R}$. Найти все возможные значения $f(0)$ и $g(0)$.
Решение:
Положив $x = y = 0$ а каждом из двух тождеств, которым удовлетворяют непостоянные функции $f(x), g(x)$, получим два равенства
$f(0) = 2f(0)g(0)$ и $g(0) = (g (0))^{2} - (f (0))^{2}$.
Поскольку $g(0) \neq 1/2$ (и противном случае из второго равенства следовало бы. Что $(f(0))^{2} = 1/4 - 1/2 < 0$), то из первого равенства имеем $f(0) = 0$, а из второго получаем, что либо $g(0) = 1$, либо $g(0) = 0$. Однако последний случай невозможен, так как иначе в силу первого тождества при $y = 0$ функция
$f(x) = f(x)g(0) + g(x)f(0) \equiv 0$
была бы постоянной. Итак, получены единственно возможные значения $f(0) = 0, g(0) = 1$, которые реализуются, например, для функций
$f(x) = \sin x, g(x) = \cos x$.
Функции $f, g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ непостоянны и удовлетворяют двум тождествам
$f(x + y) \equiv f(x)g(y) + g(x)f(y)$,
$g(x + y) = g(x)g(y) - f(x)f(y)$,
$x, y \in \mathbf{R}$. Найти все возможные значения $f(0)$ и $g(0)$.
Решение:
Положив $x = y = 0$ а каждом из двух тождеств, которым удовлетворяют непостоянные функции $f(x), g(x)$, получим два равенства
$f(0) = 2f(0)g(0)$ и $g(0) = (g (0))^{2} - (f (0))^{2}$.
Поскольку $g(0) \neq 1/2$ (и противном случае из второго равенства следовало бы. Что $(f(0))^{2} = 1/4 - 1/2 < 0$), то из первого равенства имеем $f(0) = 0$, а из второго получаем, что либо $g(0) = 1$, либо $g(0) = 0$. Однако последний случай невозможен, так как иначе в силу первого тождества при $y = 0$ функция
$f(x) = f(x)g(0) + g(x)f(0) \equiv 0$
была бы постоянной. Итак, получены единственно возможные значения $f(0) = 0, g(0) = 1$, которые реализуются, например, для функций
$f(x) = \sin x, g(x) = \cos x$.
