Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 386
2014-06-07 
Пусть $I = (0; 1]$. Для заданного значения $\alpha \in (0; 1)$ определим функцию $f: I \rightarrow I$ следующим образом:
$
f(x) = \begin{cases} x + (1-a)& \text{для}\: 0 < x \leq a,\\
x - a& \text{для}\: a < x \leq 1. \end{cases}$
Доказать, что для любого интервала $J \subset I$ существует такое число $n \in \mathbf{N}$, что пересечение $f^{N}(J) \bigcap J$ не пусто.
Решение:
Предположим, что существует такой интервал $J \subset I$ длины $d$, дли которого
$ f^{n}(J) \bigcap J = \varnothing$ при любом $n \in \mathbf{N}$.
Тогда для любых $m, n \in \mathbf{N}$ имеем
$f^{m+n}(J) \bigcap f^{m}(J) = f^{m}(f^{n} \bigcap J) = f^{m}(\varnothing) = \varnothing$.
поэтому множества $f(J), f^{2}(J), \cdots, f^{n}(J), \cdots$ попарно не пересекаются. С другой стороны, каждое множество $f^{n}(J)$ при $n \in \mathbf{N}$ есть объединение нескольких промежутков суммарной длины $d$, лежащих в $l$. Поэтому все они не могут попарно не пересекаться. Полученное противоречие доказывает требуемое утверждение.
Пусть $I = (0; 1]$. Для заданного значения $\alpha \in (0; 1)$ определим функцию $f: I \rightarrow I$ следующим образом:
$
f(x) = \begin{cases} x + (1-a)& \text{для}\: 0 < x \leq a,\\
x - a& \text{для}\: a < x \leq 1. \end{cases}$
Доказать, что для любого интервала $J \subset I$ существует такое число $n \in \mathbf{N}$, что пересечение $f^{N}(J) \bigcap J$ не пусто.
Решение:
Предположим, что существует такой интервал $J \subset I$ длины $d$, дли которого
$ f^{n}(J) \bigcap J = \varnothing$ при любом $n \in \mathbf{N}$.
Тогда для любых $m, n \in \mathbf{N}$ имеем
$f^{m+n}(J) \bigcap f^{m}(J) = f^{m}(f^{n} \bigcap J) = f^{m}(\varnothing) = \varnothing$.
поэтому множества $f(J), f^{2}(J), \cdots, f^{n}(J), \cdots$ попарно не пересекаются. С другой стороны, каждое множество $f^{n}(J)$ при $n \in \mathbf{N}$ есть объединение нескольких промежутков суммарной длины $d$, лежащих в $l$. Поэтому все они не могут попарно не пересекаться. Полученное противоречие доказывает требуемое утверждение.
