Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 378
2014-06-07 
Дана функция
$
f(x) = \begin{cases} 0& \text{при}\: x = pi/2 + k \pi, k \in \mathbf{Z},\\
1/(2 + tg^{2} \: x)0,& \text{при остальных значениях}\: x. \end{cases}$
Доказать, что функция $g(x) = f(x) + f(ax)$ периодична тогда и только тогда, когда $a \in \mathbf{Q}$.
Решение:
Рассмотрим функцию
$g(x) = f(x) + f(ax)$.
Если $a = p/q$, где $p \in \mathbf{Z}, q \in \mathbf{N}$, то $T = q \pi$ - период функции $g(x)$, так как
$g(x + q \pi) \equiv f (x + q \pi) + f(ax + p \pi)$,
а $\pi$ - период функции $f(x)$. Докажем, что если $a$ иррационально, то функция $g(x)$ непернодична. Заметим, что $g(0) = f(0) + f(0) = 1$. Если же $g(x_{0}) = 1$ для некоторого $x_{0} \neq 0$, то $tg^{2} \: x_{0} = 0$ и $tg^{2} \: (ax_{0}) = 0$, т. е.
$x_{0} = \pi k$ и $ax_{0} = \pi l (k, l \in \mathbf{Z})$.
Но $x_{0} \neq 0$ значит, $a = l/k$, что противоречит иррациональности числа $a$. Итак, функция $g(x)$ приникает значение 1 в единственной точке $x = 0$, следовательно, она непериодична.
Дана функция
$
f(x) = \begin{cases} 0& \text{при}\: x = pi/2 + k \pi, k \in \mathbf{Z},\\
1/(2 + tg^{2} \: x)0,& \text{при остальных значениях}\: x. \end{cases}$
Доказать, что функция $g(x) = f(x) + f(ax)$ периодична тогда и только тогда, когда $a \in \mathbf{Q}$.
Решение:
Рассмотрим функцию
$g(x) = f(x) + f(ax)$.
Если $a = p/q$, где $p \in \mathbf{Z}, q \in \mathbf{N}$, то $T = q \pi$ - период функции $g(x)$, так как
$g(x + q \pi) \equiv f (x + q \pi) + f(ax + p \pi)$,
а $\pi$ - период функции $f(x)$. Докажем, что если $a$ иррационально, то функция $g(x)$ непернодична. Заметим, что $g(0) = f(0) + f(0) = 1$. Если же $g(x_{0}) = 1$ для некоторого $x_{0} \neq 0$, то $tg^{2} \: x_{0} = 0$ и $tg^{2} \: (ax_{0}) = 0$, т. е.
$x_{0} = \pi k$ и $ax_{0} = \pi l (k, l \in \mathbf{Z})$.
Но $x_{0} \neq 0$ значит, $a = l/k$, что противоречит иррациональности числа $a$. Итак, функция $g(x)$ приникает значение 1 в единственной точке $x = 0$, следовательно, она непериодична.
