Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 395
2014-06-07 
Функции $f, g, h: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$ удовлетворяют следующим трем условиям:
а) функция $h(n)$ не принимает никакое значение более чем в одной точке $n \in \mathbf{N}$;
б) множество значении функции $g(n)$ есть $\mathbf{N}$;
в) $f(n) \equiv g(n) – h(n) + 1, n \in \mathbf{N}$.
Доказать. что справедливо тождество $f(n) \equiv 1, n \in \mathbf{N}$.
Решение:
Докажем тождество $g(n) \equiv h(n) (n \in \mathbf{N})$, из которого в силу условия в) будет следовать, что
$f(n) \equiv g(n) - h(n) + 1 \equiv 1, n \in \mathbf{N}$.
При любом $n \in \mathbf{N}$ имеем
$h(n) = g(n) +1 - f(n) \leq g(n)$
(ибо $f(n) \geq 1$). Предположим, что для некоторого значения $n \in \mathbf{N}$ равенство $g(n) = h(n)$ не выполнено, тогда $h(n) < g(n) = k$. Согласно условию б) найдется числа $n_{1}, \cdots, n_{k-1} \in \mathbf{N}$, для которых $g(n_{i}) = i$ при $i = 1, \cdots, k – 1$. Поэтому каждое из $k$ чисел $h(n_{1}), \cdots, h(n_{k-1}), h(n)$ принадлежит множеству $\{1; \cdots; k -1 \}$, следовательно, по принципу Дирихле функция $f(n)$ принимает некоторое значение более, одного раза, что противоречит условию а). Утверждение доказана
Функции $f, g, h: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$ удовлетворяют следующим трем условиям:
а) функция $h(n)$ не принимает никакое значение более чем в одной точке $n \in \mathbf{N}$;
б) множество значении функции $g(n)$ есть $\mathbf{N}$;
в) $f(n) \equiv g(n) – h(n) + 1, n \in \mathbf{N}$.
Доказать. что справедливо тождество $f(n) \equiv 1, n \in \mathbf{N}$.
Решение:
Докажем тождество $g(n) \equiv h(n) (n \in \mathbf{N})$, из которого в силу условия в) будет следовать, что
$f(n) \equiv g(n) - h(n) + 1 \equiv 1, n \in \mathbf{N}$.
При любом $n \in \mathbf{N}$ имеем
$h(n) = g(n) +1 - f(n) \leq g(n)$
(ибо $f(n) \geq 1$). Предположим, что для некоторого значения $n \in \mathbf{N}$ равенство $g(n) = h(n)$ не выполнено, тогда $h(n) < g(n) = k$. Согласно условию б) найдется числа $n_{1}, \cdots, n_{k-1} \in \mathbf{N}$, для которых $g(n_{i}) = i$ при $i = 1, \cdots, k – 1$. Поэтому каждое из $k$ чисел $h(n_{1}), \cdots, h(n_{k-1}), h(n)$ принадлежит множеству $\{1; \cdots; k -1 \}$, следовательно, по принципу Дирихле функция $f(n)$ принимает некоторое значение более, одного раза, что противоречит условию а). Утверждение доказана
