Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 388
2014-06-07 
Функция $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ удовлетворяет тождеству
$f(xy) \equiv \frac{f(x) + f(y)}{x+y}, x,y \in \mathbf{R}, x + y \neq 0$.
Существует ли такое значение $x \in \mathbf{R}$, для которого $f(x) \neq 0$?
Решение:
Положим $y = 1$ в тождестве, выполненном для функции $f(x)$. Тогда имеем тождество
$f(x) \equiv (f(x) + f(1))/(x+1) (x \neq -1)$,
т. е. $xf(x) \equiv f(1)$. При $x = 0$ получаем $f(1) = 0$, а значит, при $x \not \in \{-1; 0 \}$ имеем $f(x) = 0$. Далее, подставляя в исходное тождество значения $y =0, x = 2$, получаем $f(0) = (f(2) + f(0))/2$, откуда $f(0) = f(2) = 0$. Наконец, подставляя значения $y = 0, x = -1$, получаем $f(0) = -f(-1) – f(0)$, откуда $f(- 1) = -2f(0) = 0$. Таким образом, для функции $f(x)$ доказано тождество $f(x) = 0, x \in \mathbf{R}$.
Функция $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ удовлетворяет тождеству
$f(xy) \equiv \frac{f(x) + f(y)}{x+y}, x,y \in \mathbf{R}, x + y \neq 0$.
Существует ли такое значение $x \in \mathbf{R}$, для которого $f(x) \neq 0$?
Решение:
Положим $y = 1$ в тождестве, выполненном для функции $f(x)$. Тогда имеем тождество
$f(x) \equiv (f(x) + f(1))/(x+1) (x \neq -1)$,
т. е. $xf(x) \equiv f(1)$. При $x = 0$ получаем $f(1) = 0$, а значит, при $x \not \in \{-1; 0 \}$ имеем $f(x) = 0$. Далее, подставляя в исходное тождество значения $y =0, x = 2$, получаем $f(0) = (f(2) + f(0))/2$, откуда $f(0) = f(2) = 0$. Наконец, подставляя значения $y = 0, x = -1$, получаем $f(0) = -f(-1) – f(0)$, откуда $f(- 1) = -2f(0) = 0$. Таким образом, для функции $f(x)$ доказано тождество $f(x) = 0, x \in \mathbf{R}$.
