ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Найти все функции $f: \mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{Q}$, удовлетворяющие условию $f(1) = 2$ и тождеству
$f(xy) = f(x)f(y) – f(x+y) + 1, x,y \in \mathbf{Q}$.


Решение:


Положив в исходном тождестве $y=1$, получим тождество
$f(x) \equiv f(x)f(1) – f(x+1) + 1 (x \in \mathbf{Q}$,
т.е.
$f(x + 1) \equiv f(x) + 1$.
Отсюда для всех $x \in \mathbf{Q}, n \in \mathbf{Z}$ имеем
$f(x + 1) = f(x) + n$,
поэтому
$f(n) = f(1) + n – 1 = n +1$.
Далее, подставляя в исходное тождество значения $x = 1/n, y = n$ при $n \in \mathbf{Z}$, получаем
$f \left ( \frac{1}{n} \cdot n \right ) = f \left ( \frac{1}{n} \right ) – f \left ( \frac{1}{n} + n \right ) + 1$,
откуда
$2 = f(1/n)(n + 1) – f(1/n) – n + 1$ т. е. $f(1/n) = 1 + 1/n$.
Наконец, подставляя значения $x = p, y = 1/q$ при $p \in \mathbf{Z}, q \in \mathbf{N}$, имеем
$f \left ( p \cdot \frac{1}{q} \right ) = f(p) \cdot f \left ( \frac{1}{q} \right ) – f \left (p + \frac{1}{q} \right ) + 1$,
откуда
$f(p/q) = (p+1)(1/q + 1 ) – 1/q – p = p/q + 1$.
Таким образом, имеем только одну функцию $f(x) = x + 1$, которая действительно удовлетворяет всем условиям задачи.