Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 396
2014-06-07 
Доказать, что существует функции $f: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$, удовлетворяющая тождеству
$f(f(n)) \equiv n^{2}, n \in \mathbf{N}$.
Решение:
Пусть последовательность $n_{1} = 2, n_{2} = 3, n_{3} = 5, \cdots$ перечисляет в порядке возрастания все натуральные числа, не являющиеся квадратом целого числа. Положим
$n_{k,m} = (n_{k})^{2m}$, где $k \in \mathbf{N}, m \in \mathbf{Z}^{+}$.
Тогда $n_{k,m+1} = (n_{k,m})^{2}$, и каждому значению $n > 1$ соответствует единственная пара чисел $k, m$, для которых $n = n_{k,m}$. Определим функцию $f(n)$ следующим образом:
$f(1) = 1, f(n_{k,m}) = \begin{cases} n_{k+1,m},& \text{если}\: k \text{нечетно}\\
n_{k-1,m+1},& \text{если}\: k \text{четно},
\end{cases}$
при $k \in \mathbf{N}, m \in \mathbf{Z}^{+}$. Тогда справедливо тождество
$f(f(n)) \equiv n^{2}, n \mathbf{N}$.
Доказать, что существует функции $f: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$, удовлетворяющая тождеству
$f(f(n)) \equiv n^{2}, n \in \mathbf{N}$.
Решение:
Пусть последовательность $n_{1} = 2, n_{2} = 3, n_{3} = 5, \cdots$ перечисляет в порядке возрастания все натуральные числа, не являющиеся квадратом целого числа. Положим
$n_{k,m} = (n_{k})^{2m}$, где $k \in \mathbf{N}, m \in \mathbf{Z}^{+}$.
Тогда $n_{k,m+1} = (n_{k,m})^{2}$, и каждому значению $n > 1$ соответствует единственная пара чисел $k, m$, для которых $n = n_{k,m}$. Определим функцию $f(n)$ следующим образом:
$f(1) = 1, f(n_{k,m}) = \begin{cases} n_{k+1,m},& \text{если}\: k \text{нечетно}\\
n_{k-1,m+1},& \text{если}\: k \text{четно},
\end{cases}$
при $k \in \mathbf{N}, m \in \mathbf{Z}^{+}$. Тогда справедливо тождество
$f(f(n)) \equiv n^{2}, n \mathbf{N}$.
