Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 397
2014-06-07 
Рассматриваются непостоянные функции $f(n, m)$, определенные на множестве всех пар целых чисел, принимающие целочисленные значения и удовлетворяющие тождеству
$f(n, m) \equiv \frac{1}{4}(f(n – 1, m) + f(n + 1, m) + f(n, m - 1) + f(n, m + 1)), n,m \in \mathbf{Z}$. Доказать, что: а) такие функции существуют; б) дня любого значении $k \in \mathbf{Z}$ каждая такая функция принимает значения как большие $k$, так и меньшие $k$.
Решение:
а) Например, функция
$f(n, m) = n (n, m \in \mathbf{Z})$
удовлетворяет всем условиям задачи.
б) Пусть утверждение неверно, т. е. для некоторого числа $k \in \mathbf{Z}$ все значения некоторой функции $f(n, m)$, удовлетворяющей условию задачи, например, не превосходят $k$. Тогда среди значений $f(n, m) (n, m \in \mathbf{Z})$ найдется наибольшее, равное, скажем, $l = f(n_{0},m_{0})$. Этому же значению равны и все числа $f(n_{0} \pm 1, m_{0}), f(n_{0}, m_{0} \pm 1)$, так как в противном случае оказалось бы, что
$f(n_{0},m_{0}) = \frac{1}{4}(f(n_{0} -1, m_{0}) + f(n_{0} + 1, m_{0}) + f(n_{0}, m_{0}-1) + f(n_{0}, m_{0} + 1)) < l$.
Рассуждая подобным образом, можно получить равенство
$l = f(n_{0}, m_{0}) = f(n_{0} \pm 1, m_{0}) = f(n_{0} \pm 2, m_{0}) = \cdots = f(n_{0} \pm n, m_{0}) = $
$= f(n_{0} \pm n, m_{0} \pm 1) = f(n_{0} \pm n, m_{0} \pm 2) = \cdots = f(n_{0} \pm n, m_{0} \pm m)$
для любых значений $n, m \in \mathbf{N}$. Таким образом, $f(n, m) \equiv l$, что противоречит условию задачи.
Рассматриваются непостоянные функции $f(n, m)$, определенные на множестве всех пар целых чисел, принимающие целочисленные значения и удовлетворяющие тождеству
$f(n, m) \equiv \frac{1}{4}(f(n – 1, m) + f(n + 1, m) + f(n, m - 1) + f(n, m + 1)), n,m \in \mathbf{Z}$. Доказать, что: а) такие функции существуют; б) дня любого значении $k \in \mathbf{Z}$ каждая такая функция принимает значения как большие $k$, так и меньшие $k$.
Решение:
а) Например, функция
$f(n, m) = n (n, m \in \mathbf{Z})$
удовлетворяет всем условиям задачи.
б) Пусть утверждение неверно, т. е. для некоторого числа $k \in \mathbf{Z}$ все значения некоторой функции $f(n, m)$, удовлетворяющей условию задачи, например, не превосходят $k$. Тогда среди значений $f(n, m) (n, m \in \mathbf{Z})$ найдется наибольшее, равное, скажем, $l = f(n_{0},m_{0})$. Этому же значению равны и все числа $f(n_{0} \pm 1, m_{0}), f(n_{0}, m_{0} \pm 1)$, так как в противном случае оказалось бы, что
$f(n_{0},m_{0}) = \frac{1}{4}(f(n_{0} -1, m_{0}) + f(n_{0} + 1, m_{0}) + f(n_{0}, m_{0}-1) + f(n_{0}, m_{0} + 1)) < l$.
Рассуждая подобным образом, можно получить равенство
$l = f(n_{0}, m_{0}) = f(n_{0} \pm 1, m_{0}) = f(n_{0} \pm 2, m_{0}) = \cdots = f(n_{0} \pm n, m_{0}) = $
$= f(n_{0} \pm n, m_{0} \pm 1) = f(n_{0} \pm n, m_{0} \pm 2) = \cdots = f(n_{0} \pm n, m_{0} \pm m)$
для любых значений $n, m \in \mathbf{N}$. Таким образом, $f(n, m) \equiv l$, что противоречит условию задачи.
