Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 379
2014-06-07 
Пусть непрерывные функции $f(x)$ и $g(x)$ удовлетворяют тождеству
$f(g(x)) = g(f(x)), x \in \mathbf{R}$.
Доказать, что если уравнение $f(x) = g(x)$ не имеет действительных решений, то их не имеет также и уравнение $f(f(x)) = g(g(x))$.
Решение:
Поскольку уравнение $f(x) = g(x)$ не имеет действительных решений, то функция
$h(x) = f(x) – g(x)$
принимает либо только положительные, либо только отрицательные значения при всех $x \in \mathbf{R}$. Поэтому функция
$f(f(x)) – g(g(x)) = f(f(x)) – g(f(x)) + f(g(x)) – g(g(x)) = h (f(x)) + h(g(x))$
принимает нулевых значений ни при каком $x \in \mathbf{R}$.
Пусть непрерывные функции $f(x)$ и $g(x)$ удовлетворяют тождеству
$f(g(x)) = g(f(x)), x \in \mathbf{R}$.
Доказать, что если уравнение $f(x) = g(x)$ не имеет действительных решений, то их не имеет также и уравнение $f(f(x)) = g(g(x))$.
Решение:
Поскольку уравнение $f(x) = g(x)$ не имеет действительных решений, то функция
$h(x) = f(x) – g(x)$
принимает либо только положительные, либо только отрицательные значения при всех $x \in \mathbf{R}$. Поэтому функция
$f(f(x)) – g(g(x)) = f(f(x)) – g(f(x)) + f(g(x)) – g(g(x)) = h (f(x)) + h(g(x))$
принимает нулевых значений ни при каком $x \in \mathbf{R}$.
