Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 394
2014-06-07 
Функция $f: \mathbf{Z} \rightarrow \mathbf{R}$ удовлетворяет условиям
$ f(n) = \begin{cases} n-10,& \text{если}\: n>100 \\
f(f(n+11)),& \text{если}\: n \geq 100,
\end{cases}$
при $n \in \mathbf{Z}$. Доказать, что для любого значения $n \leq 100$ справедливо равенство $f(n) = 91$.
Решение:
Пусть сначала $n \leq 100$ и $n + 11 > 100$, т. е. $90 \leq n \leq 100$. Тогда
$f(n) = f(f(n+11)) = f(n + 11 – 10) = f(n + 1)$,
поэтому
$f(90) = f(91) = \cdots = f(100) = f(101) = 91$.
Пусть теперь $n < 90$. Выберем такое число $m \in \mathbf{N}$, чтобы выполнялись оценки
$90 \leq < n + 11 \leq 100$.
Тогда имеем
$f(n) = f^{2}(n + 11) = \cdots = f^{m+1}(n + 11m) = f^{m}(f(n + 11m)) = f^{m}(91) = 91$.
Таким образом, требуемое равенство доказано при всех значениях $n \leq 100$.
Функция $f: \mathbf{Z} \rightarrow \mathbf{R}$ удовлетворяет условиям
$ f(n) = \begin{cases} n-10,& \text{если}\: n>100 \\
f(f(n+11)),& \text{если}\: n \geq 100,
\end{cases}$
при $n \in \mathbf{Z}$. Доказать, что для любого значения $n \leq 100$ справедливо равенство $f(n) = 91$.
Решение:
Пусть сначала $n \leq 100$ и $n + 11 > 100$, т. е. $90 \leq n \leq 100$. Тогда
$f(n) = f(f(n+11)) = f(n + 11 – 10) = f(n + 1)$,
поэтому
$f(90) = f(91) = \cdots = f(100) = f(101) = 91$.
Пусть теперь $n < 90$. Выберем такое число $m \in \mathbf{N}$, чтобы выполнялись оценки
$90 \leq < n + 11 \leq 100$.
Тогда имеем
$f(n) = f^{2}(n + 11) = \cdots = f^{m+1}(n + 11m) = f^{m}(f(n + 11m)) = f^{m}(91) = 91$.
Таким образом, требуемое равенство доказано при всех значениях $n \leq 100$.
