Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 384
2014-06-07 
Найти все числа $d \in (0; 1]$, обладающие следующим свойством: если $f(x)$ - произвольная непрерывная функция, определенная при $x \in [0; 1]$, причем $f(0) = f(1)$, то существует число $x_{0} \in [0; 1 – d]$, для которого
$f(x_{0}) = f(x_{0} + d)$.
Решение:
Докажем, что любое число $d = 1/k$, где $k \in \mathbf{N}$, удовлетворяет условию задачи. Возьмем произвольную непрерывную функцию $f(x)$ и число $k > 1$ (число $d = 1$ удовлетворяет условию, ибо $f(0) = f(1)$. Рассмотрим функцию
$g(x) = f(x + 1/k) – f(x)$,
определенную на отрезке $[0; (k-1)/k – f(x)]$. Поскольку сумма чисел
$g(0) = f(1/k) - f(0), g(1/k) = f(2/k) - f(l/k), \cdots, g((k - 1)/k) = f(1) – f((k-1)/k)$
равна 0, то среди них есть как неположительные, так и неотрицательные числа. Поэтому в силу непрерывности функции $g(x)$ существует число $x_{0}$, для которого $g(x_{0}) = 0$, т. е.
$f(x_{0} + 1/k) = f(x_{0})$.
Пусть теперь дано число $d \in (0; 1]$, не равное $1/k$ ни при каком значенни $k \in \mathbf{N}$. Возьмем такое число $k \in \mathbf{N}$, для которого $kd < 1 < (k + 1)d$, и рассмотрим произвольную непрерывную функцию $f(x)$, определенную на отрезке $[0; d]$ и удовлетворяющую равенствам
$f(0) = 0, f(1 - kd) = -k, f(d) = 1$.
Продолжим эту функцию на отрезок $[0; 1]$ таким образом, чтобы при каждом $x \in [d; 1]$ выполнялось равенство
$f(x) = f(x - d) + 1$.
Полученная функция непрерывна, причем $f(1) = f(1-d) + 1 = f(1- 2d ) + 2 = \cdots = f(1 - kd) + k = 0 = f(0)$ и при любом значении $x \in [0; 1-d]$ имеют место соотношения $f(x +d) = f(x) + 1 \neq f(x)$.
Найти все числа $d \in (0; 1]$, обладающие следующим свойством: если $f(x)$ - произвольная непрерывная функция, определенная при $x \in [0; 1]$, причем $f(0) = f(1)$, то существует число $x_{0} \in [0; 1 – d]$, для которого
$f(x_{0}) = f(x_{0} + d)$.
Решение:
Докажем, что любое число $d = 1/k$, где $k \in \mathbf{N}$, удовлетворяет условию задачи. Возьмем произвольную непрерывную функцию $f(x)$ и число $k > 1$ (число $d = 1$ удовлетворяет условию, ибо $f(0) = f(1)$. Рассмотрим функцию
$g(x) = f(x + 1/k) – f(x)$,
определенную на отрезке $[0; (k-1)/k – f(x)]$. Поскольку сумма чисел
$g(0) = f(1/k) - f(0), g(1/k) = f(2/k) - f(l/k), \cdots, g((k - 1)/k) = f(1) – f((k-1)/k)$
равна 0, то среди них есть как неположительные, так и неотрицательные числа. Поэтому в силу непрерывности функции $g(x)$ существует число $x_{0}$, для которого $g(x_{0}) = 0$, т. е.
$f(x_{0} + 1/k) = f(x_{0})$.
Пусть теперь дано число $d \in (0; 1]$, не равное $1/k$ ни при каком значенни $k \in \mathbf{N}$. Возьмем такое число $k \in \mathbf{N}$, для которого $kd < 1 < (k + 1)d$, и рассмотрим произвольную непрерывную функцию $f(x)$, определенную на отрезке $[0; d]$ и удовлетворяющую равенствам
$f(0) = 0, f(1 - kd) = -k, f(d) = 1$.
Продолжим эту функцию на отрезок $[0; 1]$ таким образом, чтобы при каждом $x \in [d; 1]$ выполнялось равенство
$f(x) = f(x - d) + 1$.
Полученная функция непрерывна, причем $f(1) = f(1-d) + 1 = f(1- 2d ) + 2 = \cdots = f(1 - kd) + k = 0 = f(0)$ и при любом значении $x \in [0; 1-d]$ имеют место соотношения $f(x +d) = f(x) + 1 \neq f(x)$.
