Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 391
2014-06-07 
Найти все функции $f: \mathbf{Z}^{+} \rightarrow \mathbf{R}$, удовлетворяющие тождеству
$f(n + m) + f(n - m) \equiv f(3n), n,m \in \mathbf{Z}^{+}, n \geq m$.
Решение:
Положив $m = 0$ в исходном тождестве, для функции $f(n)$ получим $2f(n) \equiv f(3n) (n \in \mathbf{Z}^{+})$, а при $n = m = 0$ имеем $f(0) = 0$. Далее, положив в тождестве $n = m$, получим
$f(2n) + f(0) \equiv f(3n)$, т. е. $f(2n) \equiv f(3n)$..
Отсюда с одной стороны для любого значения $m \in \mathbf{Z}^{+}$ имеем равенства
$f(4m) = f(6m) = f(9m)$,
а с другой стороны, из тождества при $n = 3m$ получаем
$f(4m) + f(2m) \equiv f(9m)$,
что возможно лишь в случае $f(2m) \equiv 0$. Следовательно, при любом значении $n \in \mathbf{Z}^{+}$ имеем
$f(n) = (1/2)f(3n) = (1/2)f(2n) = 0$,
т. е. исходному тождеству может удовлетворять (и действительно удовлетворяет) лишь функция $f(n)$, тождественно равная 0.
Найти все функции $f: \mathbf{Z}^{+} \rightarrow \mathbf{R}$, удовлетворяющие тождеству
$f(n + m) + f(n - m) \equiv f(3n), n,m \in \mathbf{Z}^{+}, n \geq m$.
Решение:
Положив $m = 0$ в исходном тождестве, для функции $f(n)$ получим $2f(n) \equiv f(3n) (n \in \mathbf{Z}^{+})$, а при $n = m = 0$ имеем $f(0) = 0$. Далее, положив в тождестве $n = m$, получим
$f(2n) + f(0) \equiv f(3n)$, т. е. $f(2n) \equiv f(3n)$..
Отсюда с одной стороны для любого значения $m \in \mathbf{Z}^{+}$ имеем равенства
$f(4m) = f(6m) = f(9m)$,
а с другой стороны, из тождества при $n = 3m$ получаем
$f(4m) + f(2m) \equiv f(9m)$,
что возможно лишь в случае $f(2m) \equiv 0$. Следовательно, при любом значении $n \in \mathbf{Z}^{+}$ имеем
$f(n) = (1/2)f(3n) = (1/2)f(2n) = 0$,
т. е. исходному тождеству может удовлетворять (и действительно удовлетворяет) лишь функция $f(n)$, тождественно равная 0.
