ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
Прямая, параллельна стороне $AB$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AC$ и $BC$ в их внутренних точках $M$ и $P$ соответственно, $D$ - точка пересечения отрезков $AP$ и $BM$. Докажите, что прямая, проходящая через ортоцентры треугольников $ADM$ и $BDP$, перпендикулярна прямой $CD$


Решение:


Первый способ. Обозначим $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{d}$.
Точка $P$ лежит между $C$ и $B$, поэтому $\overrightarrow{CP}=k\overrightarrow{CB}=k\overrightarrow{b}$ для некоторого $k$ из промежутка $(0;1)$, а т.к. $PM\parallel AB$, то $\overrightarrow{CM}=k\overrightarrow{CA}=k\overrightarrow{a}$.
Поскольку точка $D$ лежит между $A$ и $P$, то существует $\lambda$ из промежутка $(0;1)$, для которого

$\overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{AP}=\lambda(\overrightarrow{CP}-\overrightarrow{CA})=\lambda(-\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}).$

Значит,

$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}+\lambda(-\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b})=(1-\lambda)\overrightarrow{a}+\lambda k\overrightarrow{b}.$

Аналогично получим, что существует $\mu$ из промежутка $(0;1)$, для которого

$\overrightarrow{d}=(1-\mu)\overrightarrow{b}+\mu k\overrightarrow{a}.$

Тогда

$(1-\lambda)\overrightarrow{a}+\lambda k\overrightarrow{b}=(1-\mu)\overrightarrow{b}+\mu k\overrightarrow{a}~\Leftrightarrow~\syst{1-\lambda=\mu k\\1-\mu=\lambda k,\\}$

откуда $\lambda=\mu=\frac{1}{k+1}$. Следовательно,

$\overrightarrow{d}=(1-\lambda)\overrightarrow{a}+\lambda k\overrightarrow{b}=\left(1-\frac{1}{k+1}\right)\overrightarrow{a}+\frac{k}{k+1}\overrightarrow{b}=\frac{k}{k+1}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}).$


Пусть $X$ - ортоцентр треугольника $ADM$. Обозначим $\overrightarrow{CX}=\overrightarrow{x}$. Поскольку $AX\perp BM$ и $MX\perp AP$, то $\overrightarrow{AX}\cdot\overrightarrow{BM}=0$ и $\overrightarrow{MX}\cdot\overrightarrow{AP}=0$, а т.к.

$\overrightarrow{AX}=\overrightarrow{CX}-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a},~\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CM}=-\overrightarrow{d}+k\overrightarrow{a},$

$\overrightarrow{MX}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CX}=-k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{x},\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CP}=-\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$

то

$(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a})(\overrightarrow{b}-k\overrightarrow{a})=0,~\mbox{или}~\overrightarrow{b}\overrightarrow{x}-k\overrightarrow{a}\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+k\overrightarrow{a}^{2},$

$(\overrightarrow{x}-k\overrightarrow{a})(\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b})=0,~\mbox{или}~\overrightarrow{a}\overrightarrow{x}-k\overrightarrow{b}\overrightarrow{x}+k^{2}\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}-k\overrightarrow{a}^{2}.$

Сложив эти два равенства, получим

$(1-k)\overrightarrow{x}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+(k^{2}-1)\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0,$

а т.к. $k\ne1$, то

$\overrightarrow{x}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+(k+1)\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0$

Аналогично, если $Y$ - ортоцентр треугольника $BDP$, а $\overrightarrow{y}=\overrightarrow{CY}$, то

$\overrightarrow{y}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+(k+1)\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0.$

Значит, $(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=0$.
Заметим, что вектор $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ коллинеарен вектору $\overrightarrow{CN}$ (см. задачу @H4500), где $N$ - середина отрезка $AB$, а из замечательного свойства трапеции (см. задачу @H1513) следует, что прямая $CD$ проходит через точку $N$. Следовательно, $CM\perp XY$. Отсюда получаем утверждение задачи.
Второй способ. Из замечательного свойства трапеции (см. задачу @H1513) следует, что прямая $CD$ проходит через середины отрезков $MP$ и $AB$. Значит, эта прямая проходит через точки пересечения медиан треугольников $ADB$ и $PMD$. Следовательно, по теореме Даниэльсона (см. задачу @H6104) эта прямая перпендикулярна прямой, проходящей через ортоцентры треугольников $ADM$ и $BDP$