Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16512
2026-02-19 
Пусть $B$ и $C$ - фиксированные точки, а $A$ - произвольная точка, из которой отрезок $BC$ виден под фиксированным углом; $F$ и $G$ - середины отрезков $AB$ и $AC$ соответственно, причём $FD\perp AB$, $GE\perp AC$, а $FB$ и $GC$ - перпендикуляры к $BC$. Докажите, что произведение $BF\cdot CG$ не зависит от положения точки $A$
Решение:
Пусть $\angle B=\beta$, $\angle C=\gamma$. Геометрическое место точек $A$ - объединение двух вмещающих данный угол дуг равных окружностей (см. задачу 8103). Пусть $R$ - радиус этих окружностей. Поскольку угол $\angle FBD$ равен $90^{\circ}-\beta$ или $\beta-90^{\circ}$, то
$FB=\frac{BD}{\cos\angle FBD}=\frac{BD}{\sin\beta}=\frac{AB}{2\sin\beta}=\frac{2R\sin\gamma}{2\sin\beta}=\frac{R\sin\gamma}{\sin\beta}.$
Аналогично, $GC=\frac{R\sin\beta}{\sin\gamma}$. Следовательно,
$BF\cdot CG=\frac{R\sin\gamma}{\sin\beta}\cdot\frac{R\sin\beta}{\sin\gamma}=R^{2}.$
Что и требовалось доказать
Пусть $B$ и $C$ - фиксированные точки, а $A$ - произвольная точка, из которой отрезок $BC$ виден под фиксированным углом; $F$ и $G$ - середины отрезков $AB$ и $AC$ соответственно, причём $FD\perp AB$, $GE\perp AC$, а $FB$ и $GC$ - перпендикуляры к $BC$. Докажите, что произведение $BF\cdot CG$ не зависит от положения точки $A$
Решение:
Пусть $\angle B=\beta$, $\angle C=\gamma$. Геометрическое место точек $A$ - объединение двух вмещающих данный угол дуг равных окружностей (см. задачу 8103). Пусть $R$ - радиус этих окружностей. Поскольку угол $\angle FBD$ равен $90^{\circ}-\beta$ или $\beta-90^{\circ}$, то
$FB=\frac{BD}{\cos\angle FBD}=\frac{BD}{\sin\beta}=\frac{AB}{2\sin\beta}=\frac{2R\sin\gamma}{2\sin\beta}=\frac{R\sin\gamma}{\sin\beta}.$
Аналогично, $GC=\frac{R\sin\beta}{\sin\gamma}$. Следовательно,
$BF\cdot CG=\frac{R\sin\gamma}{\sin\beta}\cdot\frac{R\sin\beta}{\sin\gamma}=R^{2}.$
Что и требовалось доказать
