Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16498
2026-02-19 
Окружности $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$ имеют общую хорду $PQ$. Через переменную точку $A$ окружности $\Gamma_{1}$ проведены прямые $AP$ и $AQ$, вторично пересекающие окружность $\Gamma_{2}$ в точках $B$ и $C$ соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежит на некоторой фиксированной окружности
Решение:
Рассмотрим случай, изображённый на рисунке (точка $A$ лежит вне окружности $\Gamma_{2}$). Пусть $O_{2}$ - центр окружности $\Gamma_{2}$, $N$ - середина отрезка $BC$, а $M$ - центр описанной окружности $\Omega$ треугольника $ABC$. Обозначим $\angle BAC=\alpha$.
Точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BC$, угол $BMN$ - половина центрального угла $BMC$ окружности $\Omega$, а т.к. $BAC$ - соответствующий угол, вписанный в эту окружность, то $\angle BMN=\alpha$. Тогда
$MN=BNctg\angle BMN=\frac{1}{2}BCctg\alpha.$
При этом $\alpha$ не зависит от положения точки $A$ на рассматриваемой дуге $PQ$ окружности $\Gamma_{1}$, а т.к. по теореме о внешнем угле треугольника
$\alpha=\angle BAC=\angle BQC-\angle ABQ=\angle BQC-\angle PBQ,$
причём угол $PBQ$ (как и $\alpha$) не зависит от положения точки $A$, то и угол $BQC$, а значит, и длина хорды $BC$, не зависит от положения точки $A$ на указанной дуге окружности $\Gamma_{1}$. Аналогично, длина отрезка $O_{2}N$ тоже не зависит от положения точки $A$.
Значит, длины отрезков $MN$ и $O_{2}N$ фиксированы, а т.к. $O_{2}M=MN-O_{2}N$, то отрезок $O_{2}M$ имеет фиксированную длину. Следовательно, при любом положении точки $A$ на указанной дуге окружности $\Gamma_{1}$ центр $M$ окружности $\Omega$ удалён от фиксированной точки $O_{2}$ на одно и то же расстояние, т.е. лежит на окружности с центром $O_{2}$ и радиусом $MN-O_{2}N$. Что и требовалось доказать.
Аналогично для остальных случаев
Окружности $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$ имеют общую хорду $PQ$. Через переменную точку $A$ окружности $\Gamma_{1}$ проведены прямые $AP$ и $AQ$, вторично пересекающие окружность $\Gamma_{2}$ в точках $B$ и $C$ соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежит на некоторой фиксированной окружности
Решение:
Рассмотрим случай, изображённый на рисунке (точка $A$ лежит вне окружности $\Gamma_{2}$). Пусть $O_{2}$ - центр окружности $\Gamma_{2}$, $N$ - середина отрезка $BC$, а $M$ - центр описанной окружности $\Omega$ треугольника $ABC$. Обозначим $\angle BAC=\alpha$.
Точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BC$, угол $BMN$ - половина центрального угла $BMC$ окружности $\Omega$, а т.к. $BAC$ - соответствующий угол, вписанный в эту окружность, то $\angle BMN=\alpha$. Тогда
$MN=BNctg\angle BMN=\frac{1}{2}BCctg\alpha.$
При этом $\alpha$ не зависит от положения точки $A$ на рассматриваемой дуге $PQ$ окружности $\Gamma_{1}$, а т.к. по теореме о внешнем угле треугольника
$\alpha=\angle BAC=\angle BQC-\angle ABQ=\angle BQC-\angle PBQ,$
причём угол $PBQ$ (как и $\alpha$) не зависит от положения точки $A$, то и угол $BQC$, а значит, и длина хорды $BC$, не зависит от положения точки $A$ на указанной дуге окружности $\Gamma_{1}$. Аналогично, длина отрезка $O_{2}N$ тоже не зависит от положения точки $A$.
Значит, длины отрезков $MN$ и $O_{2}N$ фиксированы, а т.к. $O_{2}M=MN-O_{2}N$, то отрезок $O_{2}M$ имеет фиксированную длину. Следовательно, при любом положении точки $A$ на указанной дуге окружности $\Gamma_{1}$ центр $M$ окружности $\Omega$ удалён от фиксированной точки $O_{2}$ на одно и то же расстояние, т.е. лежит на окружности с центром $O_{2}$ и радиусом $MN-O_{2}N$. Что и требовалось доказать.
Аналогично для остальных случаев
