Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16503
2026-02-19 
Из точки $P$, лежащей внутри остроугольного треугольника $ABC$, опущены перпендикуляры $PD$, $PE$ и $PF$ на стороны $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Найдите геометрическое место точек $P$, для которых треугольник $DEF$ равнобедренный. Для каких $P$ этот треугольник равносторонний
Решение:
Пусть углы при вершинах $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ соответственно, а $BC=a$, $AC=b$ и $AB=c$.
Из точек $D$ и $F$ отрезок $AP$ виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром $AP$. По теореме синусов $DF=AP\sin\alpha$. Аналогично, $DE=BP\sin\beta$ и $EF=CP\sin\gamma$.
Если $DF=DE$, то $AP\sin\alpha=BP\sin\beta$, а т.к. по теореме синусов $\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}=\frac{AC}{BC}$, то
$\frac{AP}{BP}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a}.$
Следовательно, точка $P$ лежит на окружности Аполлония отрезка $AB$ и отношения $\frac{b}{a}$, т.е. на окружности с диаметром $KL$, где $K$ и $L$ - точки пересечения с прямой $AB$ биссектрис внутреннего и внешнего углов при вершине $C$ треугольника $ABC$ (см. задачу 5926). Аналогично для случаев $ED=EF$ и $FD=FE$.
Точка $P$ лежит внутри треугольника, поэтому геометрическое точек $P$, для которых треугольник $DEF$ равнобедренный, - фигура, состоящая из трёх расположенных внутри треугольника $ABC$ дуг таких окружностей Аполлония.
Треугольник $DEF$ равносторонний, если $P$ - точка пересечения этих трёх дуг
Из точки $P$, лежащей внутри остроугольного треугольника $ABC$, опущены перпендикуляры $PD$, $PE$ и $PF$ на стороны $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Найдите геометрическое место точек $P$, для которых треугольник $DEF$ равнобедренный. Для каких $P$ этот треугольник равносторонний
Решение:
Пусть углы при вершинах $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ соответственно, а $BC=a$, $AC=b$ и $AB=c$.
Из точек $D$ и $F$ отрезок $AP$ виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром $AP$. По теореме синусов $DF=AP\sin\alpha$. Аналогично, $DE=BP\sin\beta$ и $EF=CP\sin\gamma$.
Если $DF=DE$, то $AP\sin\alpha=BP\sin\beta$, а т.к. по теореме синусов $\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}=\frac{AC}{BC}$, то
$\frac{AP}{BP}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a}.$
Следовательно, точка $P$ лежит на окружности Аполлония отрезка $AB$ и отношения $\frac{b}{a}$, т.е. на окружности с диаметром $KL$, где $K$ и $L$ - точки пересечения с прямой $AB$ биссектрис внутреннего и внешнего углов при вершине $C$ треугольника $ABC$ (см. задачу 5926). Аналогично для случаев $ED=EF$ и $FD=FE$.
Точка $P$ лежит внутри треугольника, поэтому геометрическое точек $P$, для которых треугольник $DEF$ равнобедренный, - фигура, состоящая из трёх расположенных внутри треугольника $ABC$ дуг таких окружностей Аполлония.
Треугольник $DEF$ равносторонний, если $P$ - точка пересечения этих трёх дуг
