Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16511
2026-02-19 
Четырёхугольник $ABCD$ ($AD\lt CD$) вписан а окружность $\Gamma$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$. Точка $M$ лежит на отрезке $EC$, причём $\angle CBM=\angle ACD$. Докажите, что описанная окружность треугольника $BME$ касается окружности $\Gamma$ в точке $B$
Решение:
Пусть луч $BM$ пересекает окружность $\Gamma$ в точке $M'$. Тогда
$\angle CBM'=\angle ACD=\angle ABD,$
поэтому $CM'=AD$ как хорды, стягиваемые равными дугами. Значит, $AC\parallel DM'$ (см. примечание к задаче 5282), и треугольник $BEM$ гомотетичен треугольнику $BDM'$ с центром $B$ и коэффициентом $\frac{BE}{BD}$. Тогда описанная окружность треугольника $BEM$ гомотетична окружности $\Gamma$, и при этом центр гомотетии - их общая точка $B$. Следовательно, эти окружности касаются в точке $B$
Четырёхугольник $ABCD$ ($AD\lt CD$) вписан а окружность $\Gamma$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$. Точка $M$ лежит на отрезке $EC$, причём $\angle CBM=\angle ACD$. Докажите, что описанная окружность треугольника $BME$ касается окружности $\Gamma$ в точке $B$
Решение:
Пусть луч $BM$ пересекает окружность $\Gamma$ в точке $M'$. Тогда
$\angle CBM'=\angle ACD=\angle ABD,$
поэтому $CM'=AD$ как хорды, стягиваемые равными дугами. Значит, $AC\parallel DM'$ (см. примечание к задаче 5282), и треугольник $BEM$ гомотетичен треугольнику $BDM'$ с центром $B$ и коэффициентом $\frac{BE}{BD}$. Тогда описанная окружность треугольника $BEM$ гомотетична окружности $\Gamma$, и при этом центр гомотетии - их общая точка $B$. Следовательно, эти окружности касаются в точке $B$
