Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16506
2026-02-19 
Треугольники $ADB$ и $AEC$, расположенные вне треугольника $ABC$, - равнобедренные и прямоугольные с прямыми углами при вершинах $D$ и $E$ соответственно. Точка $F$ - середина стороны $BC$. Докажите, что треугольник $DFE$ - равнобедренный и прямоугольный
Решение:
Отметим середины $G$ и $H$ сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Тогда $AGFH$ - параллелограмм, а $DG$ и $EH$ - медианы прямоугольных треугольников $ADB$ и $AEC$, проведённые из вершин прямых углов. Значит,
$DG=\frac{1}{2}AB=AG=HF,~GF=AH=\frac{1}{2}AC=HE.$
Кроме того,
$\angle DGF=90^{\circ}+\angle BGF=90^{\circ}+\angle FHC=\angle FHE,$
поэтому треугольники $DGF$ и $FHE$ равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, $DF=FE$.
Соответствующие стороны $DG$ и $HF$ этих треугольников перпендикулярны. Также перпендикулярны соответствующие стороны $GF$ и $HE$, а т.к. треугольники равны, то перпендикулярны их соответствующие стороны $DF$ и $FE$. Отсюда следует утверждение задачи
Треугольники $ADB$ и $AEC$, расположенные вне треугольника $ABC$, - равнобедренные и прямоугольные с прямыми углами при вершинах $D$ и $E$ соответственно. Точка $F$ - середина стороны $BC$. Докажите, что треугольник $DFE$ - равнобедренный и прямоугольный
Решение:
Отметим середины $G$ и $H$ сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Тогда $AGFH$ - параллелограмм, а $DG$ и $EH$ - медианы прямоугольных треугольников $ADB$ и $AEC$, проведённые из вершин прямых углов. Значит,
$DG=\frac{1}{2}AB=AG=HF,~GF=AH=\frac{1}{2}AC=HE.$
Кроме того,
$\angle DGF=90^{\circ}+\angle BGF=90^{\circ}+\angle FHC=\angle FHE,$
поэтому треугольники $DGF$ и $FHE$ равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, $DF=FE$.
Соответствующие стороны $DG$ и $HF$ этих треугольников перпендикулярны. Также перпендикулярны соответствующие стороны $GF$ и $HE$, а т.к. треугольники равны, то перпендикулярны их соответствующие стороны $DF$ и $FE$. Отсюда следует утверждение задачи
