Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16507
2026-02-19 
Докажите, что в любом треугольнике радиус каждой вневписанной окружности меньше учетверённого радиуса описанной окружности
Решение:
Пусть $I_{a}$ - центр вневписанной окружности треугольника $ABC$ касающейся стороны $BC=a$ в точке $H$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$, $r_{a}$ - её радиус; $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ - углы треугольника, противолежащие сторонам $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно; $O$ - центр описанной окружности треугольника, $R$ - её радиус.
Тогда
$a=BH+CH=I_{a}Hctg\angle OBH+I_{a}Hctg\angle OCH=r_{a}ctg\frac{180^{\circ}-\beta}{2}+r_{a}ctg\frac{180^{\circ}-\gamma}{2}=r_{a}\left(tg\frac{\beta}{2}+tg\frac{\gamma}{2}\right),$
$R=\frac{BC}{2\sin\alpha}=\frac{a}{2\sin(180^{\circ}-\beta-\gamma)}=\frac{a}{2\sin(\beta+\gamma)}.$
Значит,
$r_{a}\lt4R~\Leftrightarrow~\frac{a}{tg\frac{\beta}{2}+tg\frac{\gamma}{2}}\lt\frac{4a}{2\sin(\beta+\gamma)}~\Leftrightarrow~\frac{1}{2}\sin(\beta+\gamma)\lt tg\frac{\beta}{2}+tg\frac{\gamma}{2}~\Leftrightarrow~\sin\frac{\beta+\gamma}{2}\cos\frac{\beta+\gamma}{2}\lt\frac{\sin\frac{\beta+\gamma}{2}}{\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}}~\Leftrightarrow~\cos\frac{\beta+\gamma}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}\lt1.$
Последнее неравенство верно, т.к. каждый сомножитель левой части меньше 1
Докажите, что в любом треугольнике радиус каждой вневписанной окружности меньше учетверённого радиуса описанной окружности
Решение:
Пусть $I_{a}$ - центр вневписанной окружности треугольника $ABC$ касающейся стороны $BC=a$ в точке $H$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$, $r_{a}$ - её радиус; $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ - углы треугольника, противолежащие сторонам $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно; $O$ - центр описанной окружности треугольника, $R$ - её радиус.
Тогда
$a=BH+CH=I_{a}Hctg\angle OBH+I_{a}Hctg\angle OCH=r_{a}ctg\frac{180^{\circ}-\beta}{2}+r_{a}ctg\frac{180^{\circ}-\gamma}{2}=r_{a}\left(tg\frac{\beta}{2}+tg\frac{\gamma}{2}\right),$
$R=\frac{BC}{2\sin\alpha}=\frac{a}{2\sin(180^{\circ}-\beta-\gamma)}=\frac{a}{2\sin(\beta+\gamma)}.$
Значит,
$r_{a}\lt4R~\Leftrightarrow~\frac{a}{tg\frac{\beta}{2}+tg\frac{\gamma}{2}}\lt\frac{4a}{2\sin(\beta+\gamma)}~\Leftrightarrow~\frac{1}{2}\sin(\beta+\gamma)\lt tg\frac{\beta}{2}+tg\frac{\gamma}{2}~\Leftrightarrow~\sin\frac{\beta+\gamma}{2}\cos\frac{\beta+\gamma}{2}\lt\frac{\sin\frac{\beta+\gamma}{2}}{\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}}~\Leftrightarrow~\cos\frac{\beta+\gamma}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}\lt1.$
Последнее неравенство верно, т.к. каждый сомножитель левой части меньше 1
