ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
Точки $D$ и $E$ лежат на стороне $BC$ треугольника $ABC$. Прямая, проведённая через точку $D$ параллельно $AC$, пересекает сторону $AB$ в точке $F$, а прямая, проведённая через точку $E$ параллельно $AB$, пересекает сторону $AC$ в точке $G$. Пусть $P$ и $Q$ - точки пересечения прямой $FG$ с описанной окружностью треугольника $ABC$. Докажите, что точки $D$, $E$, $P$, $Q$ лежат на одной окружности


Решение:


Пусть прямые $BC$ и $PQ$ пересекаются в точке $M$. При гомотетии с центром $M$ и коэффициентом $\frac{ME}{MB}$ точка $F$ переходит в $G$, а точка $D$ - в $C$, поэтому

$\frac{ME}{MB}=\frac{MG}{MF}=\frac{MC}{MD}~\Rightarrow~ME\cdot MD=MC\cdot MB.$

С другой стороны, $MC\cdot MB=MQ\cdot MP$ (см. задачу 6106). Значит, $ME\cdot MD=MQ\cdot MP$, поэтому точки $D$, $E$, $Q$ и $P$ лежат на одной окружности (см. задачу 3921).
Если прямые $BC$ и $PQ$ параллельны, то $DEQP$ - равнобедренная трапеция, а значит, около неё можно описать окружность, т.е. и в этом случае точки $D$, $E$, $P$, $Q$ лежат на одной окружности