Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16501
2026-02-19 
Докажите, что
$\sin\beta\sin\gamma\leq1-\frac{a^{2}}{(b+c)^{2}},$
где $a$, $b$ и $c$ - стороны треугольника, а $\beta$ и $\gamma$ - углы, противолежащие сторонам $b$ и $c$ соответственно
Решение:
Пусть $R$ - радиус описанной окружности данного треугольника, $S$ - площадь треугольника. Тогда
$\sin\beta=\frac{b}{2R},~\sin\gamma=\frac{c}{2R},$
$R=\frac{abc}{4S}=\frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}}.$
Значит,
$\sin\beta\sin\gamma\leq1-\frac{a^{2}}{(b+c)^{2}}~\Leftrightarrow~\frac{b}{2R}\cdot\frac{c}{2R}\leq\frac{(b+c)^{2}-a^{2}}{(b+c)^{2}}~\Leftrightarrow~\frac{bc}{4R^{2}}\leq\frac{(b+c-a)(b+c+a)}{(b+c)^{2}}~\Leftrightarrow~R^{2}\geq\frac{bc(b+c)^{2}}{4(b+c-a)(b+c+a)}~\Leftrightarrow~\frac{a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}\geq\frac{bc(b+c)^{2}}{4(b+c-a)(b+c+a)}~\Leftrightarrow~\frac{a^{2}bc}{(a+c-b)(a+b-c)}\geq\frac{(b+c)^{2}}{4}~\Leftrightarrow~4a^{2}bc\geq(b+c)^{2}(a^{2}-(b-c)^{2})~\Leftrightarrow~4a^{2}bc\geq(b+c)^{2}a^{2}-(b+c)^{2}(b-c)^{2}~\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow~0\geq a^{2}((b+c)^{2}-4bc)-(b+c)^{2}(b-c)^{2}~\Leftrightarrow~0\geq a^{2}(b-c)^{2}-(b+c)^{2}(b-c)^{2}~\Leftrightarrow~0\geq(b-c)^{2}(a^{2}-(b+c)^{2}).$
Последнее неравенство верно, т.к. $a\lt b+c$ (неравенство треугольника). Отсюда следует неравенство из условия задачи
Докажите, что
$\sin\beta\sin\gamma\leq1-\frac{a^{2}}{(b+c)^{2}},$
где $a$, $b$ и $c$ - стороны треугольника, а $\beta$ и $\gamma$ - углы, противолежащие сторонам $b$ и $c$ соответственно
Решение:
Пусть $R$ - радиус описанной окружности данного треугольника, $S$ - площадь треугольника. Тогда
$\sin\beta=\frac{b}{2R},~\sin\gamma=\frac{c}{2R},$
$R=\frac{abc}{4S}=\frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}}.$
Значит,
$\sin\beta\sin\gamma\leq1-\frac{a^{2}}{(b+c)^{2}}~\Leftrightarrow~\frac{b}{2R}\cdot\frac{c}{2R}\leq\frac{(b+c)^{2}-a^{2}}{(b+c)^{2}}~\Leftrightarrow~\frac{bc}{4R^{2}}\leq\frac{(b+c-a)(b+c+a)}{(b+c)^{2}}~\Leftrightarrow~R^{2}\geq\frac{bc(b+c)^{2}}{4(b+c-a)(b+c+a)}~\Leftrightarrow~\frac{a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}\geq\frac{bc(b+c)^{2}}{4(b+c-a)(b+c+a)}~\Leftrightarrow~\frac{a^{2}bc}{(a+c-b)(a+b-c)}\geq\frac{(b+c)^{2}}{4}~\Leftrightarrow~4a^{2}bc\geq(b+c)^{2}(a^{2}-(b-c)^{2})~\Leftrightarrow~4a^{2}bc\geq(b+c)^{2}a^{2}-(b+c)^{2}(b-c)^{2}~\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow~0\geq a^{2}((b+c)^{2}-4bc)-(b+c)^{2}(b-c)^{2}~\Leftrightarrow~0\geq a^{2}(b-c)^{2}-(b+c)^{2}(b-c)^{2}~\Leftrightarrow~0\geq(b-c)^{2}(a^{2}-(b+c)^{2}).$
Последнее неравенство верно, т.к. $a\lt b+c$ (неравенство треугольника). Отсюда следует неравенство из условия задачи
