ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
Стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Докажите, что величина $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$ содержится между $\frac{3}{2}$ и 2. Можно ли улучшить эти границы


Решение:



$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+3=\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}=(a+b+c)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)=\frac{1}{2}((a+b)+(b+c)+(a+c))\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\geq\frac{9}{2}.$

Последнее неравенство верно, т.к.

$\frac{1}{\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}}\leq\frac{(b+c)+(c+a)+(a+b)}{3}$

(см. примечание к задаче 6771). Следовательно,

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}.$


Равенство достигается, когда $b+c=c+a=a+b$, т.е. $a=b=c$. В этом случае треугольник равносторонний. Таким образом, нижнюю границу неравенства увеличить нельзя.
Для верхней границы заметим, что $a\lt b+c$ (неравенство треугольника), поэтому

$\frac{a}{b+c}-\frac{2a}{a+b+c}=\frac{a^{2}-a(b+c)-2a(b+c)}{(b+c)(a+b+c)}=\frac{a^{2}-a(b+c)}{(b+c)(a+b+c)}=\frac{a(a-(b+c))}{(b+c)(a+b+c)}\lt0.$

Аналогично,

$\frac{b}{c+a}-\frac{2b}{a+b+c}\lt0,~\frac{c}{a+b}-\frac{2b}{a+b+c}\lt0.$

Значит,

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\lt\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=2.$

Заметим, что и это неравенство нельзя улучшить