ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
В треугольнике $ABC$ с острыми углами при вершинах $A$ и $C$ проведена высота $BD$. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника при вершине $A$ пересекают прямую $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Известно, что $BC$ - биссектриса внешнего угла при вершине $B$ треугольника $ABD$. Докажите, что $AE=AF$


Решение:


Если угол при вершине $B$ тупой или прямой, то точка $D$ лежит на отрезке $AC$ (см. задачу 3932а). Если угол при вершине $B$ острый, то треугольник $ABC$ остроугольный, и точка $D$ тоже лежит на отрезке $AC$ (см. задачу 3932б).
Пусть прямые $AE$ и $BD$ пересекаются в точке $H$. На продолжении стороны $AB$ за точку $D$ отметим точку $G$. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому $AF\perp AE$. Тогда

$\angle FAB=90^{\circ}-\angle BAH=90^{\circ}\angle HAD=\angle AHD=\angle BHE.$


Луч $BE$ - биссектриса угла $DBG$, поэтому

$\angle HBE=\angle EBG=\angle ABF.$

Итак, $\angle FAB=\angle BHE$ и $\angle ABF=\angle HBE$. Значит, равны и третьи углы треугольников $ABF$ и $HBE$, т.е. $\angle AFB=\angle HEB=\angle AEB$. Следовательно, треугольник $AFE$ равнобедренный, и $AE=AF$. Что и требовалось доказать