Три натуральных числа таковы, что произведение любых двух из них делится на сумму этих двух чисел. Докажите, что эти три числа имеют общий делитель, больший единицы.
Подробнее
В клетки таблицы $100 \times 100$ записаны ненулевые цифры. Оказалось, что все 100 стозначных чисел, записанных по горизонтали, делятся на 11. Могло ли так оказаться, что ровно 99 стозначных чисел, записанных по вертикали, также делятся на 11?
Подробнее
Набор пятизначных чисел $\{N_1,\cdots, N_k \}$ таков, что любое пятизначное число, все цифры которого идут в неубывающем порядке, совпадает хотя бы в одном разряде хотя бы с одним их чисел $N_1, \cdots, N_k$. Найдите наименьшее возможное значение $к$.
Подробнее
Расстоянием между числами $ \overline {a_1a_2a_3a_4a_5}$ и $ \overline {b_1b_2b_3b_4b_5}$ назовем максимальное $i$, для которого $a_i \neq b_i$. Все пятизначные числа выписаны друг за другом в некотором порядке. Какова при этом минимально возможная сумма расстояний между соседними числами?
Подробнее
Даны 19 карточек. Можно ли на каждой из карточек написать ненулевую цифру так, чтобы из этих карточек можно было сложить ровно одно 19-значное число, делящееся на 11?
Подробнее
Известно, что сумма цифр натурального числа $N$ равна 100, а сумма цифр числа $5N$ равна 50. Докажите, что $N$ четно.
Подробнее
Найдите все такие пары $(x, y)$ натуральных чисел, что $x + y = a^n, x^2 + y^2 = a^m$ для некоторых натуральных $a, n, m$.
Подробнее
В 99 ящиках лежат яблоки и апельсины. Докажите, что можно так выбрать 50 ящиков, что в них окажется не менее половины всех яблок и не менее половины всех апельсинов.
Подробнее
В коммерческом турнире по футболу участвовало пять команд. Каждая должна была сыграть с каждой ровно один матч. В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды набрали различное число очков и ни одна команда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее число игр могло быть сыграно в турнире, если за победу начислялось три очка, за ничью - одно, за поражение - ноль?
Подробнее
Найдите все пары $(a, b)$ натуральных чисел такие, что при любом натуральном $n$ число $a^n + b^n$ является точной $(n + 1)$-й степенью.
Подробнее
Каких точных квадратов, не превосходящих $10^{20}$, больше: тех, у которых семнадцатая с конца цифра - 7, или тех, у которых семнадцатая с конца цифра - 8?
Подробнее
Найдите какое-нибудь девятизначное число $N$, состоящее из различных цифр, такое, что среди всех чисел, получающихся из $N$ вычеркиванием семи цифр, было бы не более одного простого. Докажите, что найденное число подходит. (Если полученное вычеркиванием цифр число начинается на ноль, то ноль тоже вычеркивается.)
Подробнее
Двое играют в такую игру. В начале по кругу стоят числа 1, 2, 3, 4. Каждым своим ходом первый прибавляет к двум соседним числам по 1, а второй меняет любые два соседних числа местами. Первый выигрывает, если все числа станут равными. Может ли второй ему помешать?
Подробнее
На доске записано произведение $a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_{100}$, где $а_1,\cdots, а_{100}$ - натуральные числа. Рассмотрим 99 выражений, каждое из которых получается заменой одного из знаков умножения на знак сложения. Известно, что значения ровно 32 из этих выражений четные. Какое наибольшее количество четных чисел среди $а_1, а_2, \cdots, а_{100}$ могло быть?
Подробнее
Число $N$, не делящееся на 81, представимо в виде суммы квадратов трех целых чисел, делящихся на 3. Докажите, что оно также представимо в виде суммы квадратов трех целых чисел, не делящихся на 3.
Подробнее
