Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1744
2019-01-20 
Каких точных квадратов, не превосходящих $10^{20}$, больше: тех, у которых семнадцатая с конца цифра - 7, или тех, у которых семнадцатая с конца цифра - 8?
Решение:
Запишем каждое число, не превосходящее $10^{20}$, двадцатью цифрами (если цифр в записи числа меньше двадцати, дополним его недостающими нулями в старших разрядах). Зафиксируем первые три цифры и убедимся, что при любом выборе этих трех цифр квадратов с такими первыми тремя цифрами и четвертой цифрой 7 больше, чем квадратов с такими первыми тремя цифрами и четвертой цифрой 8 - очевидно, наш ответ из этого следует.
Нам нужно сравнить количество точных квадратов на полуинтервале $[(A - 1) \cdot 10^{16}; A \cdot 10^{16})$ с числом точных квадратов на полуинтервале $[A \cdot 10^{16};(A + 1) \cdot 10^{16})$ (здесь $A < 10^4$ - число, полученное приписыванием восьмерки к трем зафиксированным первым цифрам), т. е. количество натуральных чисел на полуинтервале $[\sqrt{A - 1} \cdot 10^8; \sqrt{A} \cdot 10^8)$ с количеством натуральных чисел на полуинтервале $[\sqrt{A} \cdot 10^8; \sqrt{A + 1} \cdot 10^8)$. А так как количество натуральных чисел на полуинтервале $[a; b)$ отличается от его длины $b - a$ не более, чем на 1, нам достаточно показать, что длины последних полуинтервалов отличаются более, чем на 2. В этом можно убедиться непосредственно:
$(\sqrt{A} \cdot 10^8 - \sqrt{A - 1} \cdot 10^8) - (\sqrt{A + 1} \cdot 10^8 - \sqrt{A} \cdot 10^8) = 10^8(( \sqrt{A} - \sqrt{A-1}) - ( \sqrt{A + 1} - \sqrt{A})) = 10^8 \left ( \frac{1}{ \sqrt{A} + \sqrt{A - 1}} - \frac{1}{ \sqrt{A+1} + \sqrt{A}} \right ) = 10^8 \cdot \frac{ \sqrt{A + 1} - \sqrt{A - 1}}{( \sqrt{A} + \sqrt{A - 1})( \sqrt{A + 1} + \sqrt{A})} = \frac{2 \cdot 10^8}{( \sqrt{A+1} + \sqrt{A - 1})( \sqrt{A} + \sqrt{A-1})( \sqrt{A+1} + \sqrt{A})} > \frac{2 \cdot 10^8}{ 2 \sqrt{10^4} \cdot 2 \sqrt{10^4} \cdot 2 \sqrt{10^4}} = 25 > 2$.
Ответ. Больше тех, у которых семнадцатая с конца цифра - 7.
Каких точных квадратов, не превосходящих $10^{20}$, больше: тех, у которых семнадцатая с конца цифра - 7, или тех, у которых семнадцатая с конца цифра - 8?
Решение:
Запишем каждое число, не превосходящее $10^{20}$, двадцатью цифрами (если цифр в записи числа меньше двадцати, дополним его недостающими нулями в старших разрядах). Зафиксируем первые три цифры и убедимся, что при любом выборе этих трех цифр квадратов с такими первыми тремя цифрами и четвертой цифрой 7 больше, чем квадратов с такими первыми тремя цифрами и четвертой цифрой 8 - очевидно, наш ответ из этого следует.
Нам нужно сравнить количество точных квадратов на полуинтервале $[(A - 1) \cdot 10^{16}; A \cdot 10^{16})$ с числом точных квадратов на полуинтервале $[A \cdot 10^{16};(A + 1) \cdot 10^{16})$ (здесь $A < 10^4$ - число, полученное приписыванием восьмерки к трем зафиксированным первым цифрам), т. е. количество натуральных чисел на полуинтервале $[\sqrt{A - 1} \cdot 10^8; \sqrt{A} \cdot 10^8)$ с количеством натуральных чисел на полуинтервале $[\sqrt{A} \cdot 10^8; \sqrt{A + 1} \cdot 10^8)$. А так как количество натуральных чисел на полуинтервале $[a; b)$ отличается от его длины $b - a$ не более, чем на 1, нам достаточно показать, что длины последних полуинтервалов отличаются более, чем на 2. В этом можно убедиться непосредственно:
$(\sqrt{A} \cdot 10^8 - \sqrt{A - 1} \cdot 10^8) - (\sqrt{A + 1} \cdot 10^8 - \sqrt{A} \cdot 10^8) = 10^8(( \sqrt{A} - \sqrt{A-1}) - ( \sqrt{A + 1} - \sqrt{A})) = 10^8 \left ( \frac{1}{ \sqrt{A} + \sqrt{A - 1}} - \frac{1}{ \sqrt{A+1} + \sqrt{A}} \right ) = 10^8 \cdot \frac{ \sqrt{A + 1} - \sqrt{A - 1}}{( \sqrt{A} + \sqrt{A - 1})( \sqrt{A + 1} + \sqrt{A})} = \frac{2 \cdot 10^8}{( \sqrt{A+1} + \sqrt{A - 1})( \sqrt{A} + \sqrt{A-1})( \sqrt{A+1} + \sqrt{A})} > \frac{2 \cdot 10^8}{ 2 \sqrt{10^4} \cdot 2 \sqrt{10^4} \cdot 2 \sqrt{10^4}} = 25 > 2$.
Ответ. Больше тех, у которых семнадцатая с конца цифра - 7.
