Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1747
2019-01-20 
Двое играют в такую игру. В начале по кругу стоят числа 1, 2, 3, 4. Каждым своим ходом первый прибавляет к двум соседним числам по 1, а второй меняет любые два соседних числа местами. Первый выигрывает, если все числа станут равными. Может ли второй ему помешать?
Решение:
Докажем, что второй может добиться того, чтобы перед каждым ходом первого четные и нечетные числа чередовались. Тогда этим ходом первому не удастся сделать все числа равными, и он не выиграет.
Заметим, что изначально четные и нечетные числа чередуются. После любого хода первого игрока получим подряд два четных и два нечетных числа. Поменяем четное и соседнее с ним нечетное число местами. Таким образом, после хода второго четные и нечетные числа чередуются, поэтому первый игрок никогда не получит четыре равных числа (см. рис.).
Ответ. Может.
Двое играют в такую игру. В начале по кругу стоят числа 1, 2, 3, 4. Каждым своим ходом первый прибавляет к двум соседним числам по 1, а второй меняет любые два соседних числа местами. Первый выигрывает, если все числа станут равными. Может ли второй ему помешать?
Решение:
Докажем, что второй может добиться того, чтобы перед каждым ходом первого четные и нечетные числа чередовались. Тогда этим ходом первому не удастся сделать все числа равными, и он не выиграет.
Заметим, что изначально четные и нечетные числа чередуются. После любого хода первого игрока получим подряд два четных и два нечетных числа. Поменяем четное и соседнее с ним нечетное число местами. Таким образом, после хода второго четные и нечетные числа чередуются, поэтому первый игрок никогда не получит четыре равных числа (см. рис.).
Ответ. Может.
