Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1725
2019-01-20 
Найдите все такие пары $(x, y)$ натуральных чисел, что $x + y = a^n, x^2 + y^2 = a^m$ для некоторых натуральных $a, n, m$.
Решение:
Из условия получаем $a^{2n} = x^2 + y^2 + 2xy = a^m + 2xy$. Отсюда $a^{2n} > a^m,$ значит, $a^{2n}$ делится на $a^m$. Следовательно, $2xy$ делится на $a^m = x^2 + y^2$. Получаем, что $2xy \geq x^2 + y^2 \geq 2xy$. Отсюда $x^2 + y^2 = 2xy, x = y$. Следовательно, $2x = a^n, 2x^2 = a^m,$ откуда $4x^2 = a^{2n}, 2 = a^{2n-m}$. Окончательно, $a = 2, x = y = 2^k$, где $k \geq 0$.
Ответ. $(2^k, 2^k),$ где $k \geq 0$.
Найдите все такие пары $(x, y)$ натуральных чисел, что $x + y = a^n, x^2 + y^2 = a^m$ для некоторых натуральных $a, n, m$.
Решение:
Из условия получаем $a^{2n} = x^2 + y^2 + 2xy = a^m + 2xy$. Отсюда $a^{2n} > a^m,$ значит, $a^{2n}$ делится на $a^m$. Следовательно, $2xy$ делится на $a^m = x^2 + y^2$. Получаем, что $2xy \geq x^2 + y^2 \geq 2xy$. Отсюда $x^2 + y^2 = 2xy, x = y$. Следовательно, $2x = a^n, 2x^2 = a^m,$ откуда $4x^2 = a^{2n}, 2 = a^{2n-m}$. Окончательно, $a = 2, x = y = 2^k$, где $k \geq 0$.
Ответ. $(2^k, 2^k),$ где $k \geq 0$.
