Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1702
2019-01-20 
Три натуральных числа таковы, что произведение любых двух из них делится на сумму этих двух чисел. Докажите, что эти три числа имеют общий делитель, больший единицы.
Решение:
Обозначим эти числа $a, b$ и $c$. Положим $x -\: НOД(b, c), у = \:НОД(c, a)$ и $z =\:НОД (a, b)$. Предположим, что числа $a, b$ и $c$ не имеют общего делителя, большего единицы. Тогда числа $x, у$ и $z$ попарно взаимно просты. Поэтому можно положить $a = kyz, b = lxz$ и $c = mxy$, где $k, l$ и $m$ - некоторые натуральные числа. Из определения наибольшего общего делителя следует, что числа $kу$ и $lx$ взаимно просты. По условию $(kyz \cdot lxz) \vdots (kyz + lxz)$, значит, $(ky \cdot lx \cdot z) \vdots (ky + lx)$. Заметим, что $\:НОД (kу, ky + lx) = НОД (ky, ky + lx) = НОД (ky, lx) = 1$ и, аналогично, $\:НОД(lx, ky + lx) = 1$. Таким образом, $z \vdots (ky + lx)$. Стало быть, $z \geq ky + lx \geq x + у$. Рассуждая аналогично, получим, что $x \geq y + z$ и $y \geq x + z$. Но эти три неравенства не могут выполняться одновременно. Противоречие.
Три натуральных числа таковы, что произведение любых двух из них делится на сумму этих двух чисел. Докажите, что эти три числа имеют общий делитель, больший единицы.
Решение:
Обозначим эти числа $a, b$ и $c$. Положим $x -\: НOД(b, c), у = \:НОД(c, a)$ и $z =\:НОД (a, b)$. Предположим, что числа $a, b$ и $c$ не имеют общего делителя, большего единицы. Тогда числа $x, у$ и $z$ попарно взаимно просты. Поэтому можно положить $a = kyz, b = lxz$ и $c = mxy$, где $k, l$ и $m$ - некоторые натуральные числа. Из определения наибольшего общего делителя следует, что числа $kу$ и $lx$ взаимно просты. По условию $(kyz \cdot lxz) \vdots (kyz + lxz)$, значит, $(ky \cdot lx \cdot z) \vdots (ky + lx)$. Заметим, что $\:НОД (kу, ky + lx) = НОД (ky, ky + lx) = НОД (ky, lx) = 1$ и, аналогично, $\:НОД(lx, ky + lx) = 1$. Таким образом, $z \vdots (ky + lx)$. Стало быть, $z \geq ky + lx \geq x + у$. Рассуждая аналогично, получим, что $x \geq y + z$ и $y \geq x + z$. Но эти три неравенства не могут выполняться одновременно. Противоречие.
