Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1721
2019-01-20 
Даны 19 карточек. Можно ли на каждой из карточек написать ненулевую цифру так, чтобы из этих карточек можно было сложить ровно одно 19-значное число, делящееся на 11?
Решение:
Напишем на десяти карточках цифру 2, а на оставшихся девяти - цифру 1. Известно, что натуральное число делится на 11 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма S, составленная из цифр данного числа, кратна 11. В числе, составленном из десяти цифр 2 и девяти цифр 1, выполняются неравенства $-7 \leq S \leq 11$. Сумма всех цифр нечетна (она равна 21), поэтому $S$ также нечетно. От -7 до 11 есть только одно нечетное число, кратное 11 - это число 11. Но для $S = 11$ имеется единственная возможность - когда на нечетных местах стоят двойки, а на четных единицы.
Ответ. Можно.
Даны 19 карточек. Можно ли на каждой из карточек написать ненулевую цифру так, чтобы из этих карточек можно было сложить ровно одно 19-значное число, делящееся на 11?
Решение:
Напишем на десяти карточках цифру 2, а на оставшихся девяти - цифру 1. Известно, что натуральное число делится на 11 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма S, составленная из цифр данного числа, кратна 11. В числе, составленном из десяти цифр 2 и девяти цифр 1, выполняются неравенства $-7 \leq S \leq 11$. Сумма всех цифр нечетна (она равна 21), поэтому $S$ также нечетно. От -7 до 11 есть только одно нечетное число, кратное 11 - это число 11. Но для $S = 11$ имеется единственная возможность - когда на нечетных местах стоят двойки, а на четных единицы.
Ответ. Можно.
