Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1709
2019-01-20 
Набор пятизначных чисел $\{N_1,\cdots, N_k \}$ таков, что любое пятизначное число, все цифры которого идут в неубывающем порядке, совпадает хотя бы в одном разряде хотя бы с одним их чисел $N_1, \cdots, N_k$. Найдите наименьшее возможное значение $к$.
Решение:
Набор с указанными свойствами не может состоять из одного числа. В самом деле: для каждого $N = \overline{abcde}$ имеется различающееся с $N$ во всех разрядах число $G = \overline{ggggg},$ где $g$ - цифра, отличная от нуля и от $a, b, c, d, e$. Покажем, что числа $N_1 = 13579$ и $N_2 = 12468$ образуют набор, удовлетворяющий условиям задачи. Пусть $A = \overline{a_1a_2a_3a_4a_5}$ - произвольное число, для цифр которого выполнены неравенства $1 \leq a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq a_4 \leq a_5$. Тогда, если $A$ не совпадает в разряде единиц ни с $N_1$, ни с $N_2,$ то $a_5 \leq 7$ и, следовательно, $a_4 \leq 7$; если при этом нет совпадений и в разряде десятков, то $a_4 \leq 5$ и $a_3 \leq 5$. Если, кроме того, нет совпадений и в разряде сотен, то $a_3 \leq 3,$ откуда $a_{2} \leq 3$; предположив еще, что $a_2 \neq 2$ и $a_2 \neq 3$, придем к равенству $a_1 = 1$, означающему совпадение $A$ с $N_1$ (и с $N_2$) в самом старшем разряде.
Ответ. 2.
Набор пятизначных чисел $\{N_1,\cdots, N_k \}$ таков, что любое пятизначное число, все цифры которого идут в неубывающем порядке, совпадает хотя бы в одном разряде хотя бы с одним их чисел $N_1, \cdots, N_k$. Найдите наименьшее возможное значение $к$.
Решение:
Набор с указанными свойствами не может состоять из одного числа. В самом деле: для каждого $N = \overline{abcde}$ имеется различающееся с $N$ во всех разрядах число $G = \overline{ggggg},$ где $g$ - цифра, отличная от нуля и от $a, b, c, d, e$. Покажем, что числа $N_1 = 13579$ и $N_2 = 12468$ образуют набор, удовлетворяющий условиям задачи. Пусть $A = \overline{a_1a_2a_3a_4a_5}$ - произвольное число, для цифр которого выполнены неравенства $1 \leq a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq a_4 \leq a_5$. Тогда, если $A$ не совпадает в разряде единиц ни с $N_1$, ни с $N_2,$ то $a_5 \leq 7$ и, следовательно, $a_4 \leq 7$; если при этом нет совпадений и в разряде десятков, то $a_4 \leq 5$ и $a_3 \leq 5$. Если, кроме того, нет совпадений и в разряде сотен, то $a_3 \leq 3,$ откуда $a_{2} \leq 3$; предположив еще, что $a_2 \neq 2$ и $a_2 \neq 3$, придем к равенству $a_1 = 1$, означающему совпадение $A$ с $N_1$ (и с $N_2$) в самом старшем разряде.
Ответ. 2.
