Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1750
2019-01-20 
На доске записано произведение $a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_{100}$, где $а_1,\cdots, а_{100}$ - натуральные числа. Рассмотрим 99 выражений, каждое из которых получается заменой одного из знаков умножения на знак сложения. Известно, что значения ровно 32 из этих выражений четные. Какое наибольшее количество четных чисел среди $а_1, а_2, \cdots, а_{100}$ могло быть?
Решение:
Рассмотрим самое левое четное число $a_i$ и самое правое четное число $а_к$. Заметим, что четными являются все суммы с номерами от $i$ до $k - 1$, и только они (в суммах с меньшими номерами первое слагаемое нечетно, а второе четно; в суммах с большими номерами - наоборот). Таким образом, $k - i = 32$. Между $a_i$ и $а_к$ могут стоять как четные, так и нечетные числа - от этого четность сумм не изменится. Количество четных чисел будет наибольшим, если все числа между $a_i$ и $а_к$ также четны. В этом случае количество четных чисел будет равно 33.
Ответ. 33.
На доске записано произведение $a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_{100}$, где $а_1,\cdots, а_{100}$ - натуральные числа. Рассмотрим 99 выражений, каждое из которых получается заменой одного из знаков умножения на знак сложения. Известно, что значения ровно 32 из этих выражений четные. Какое наибольшее количество четных чисел среди $а_1, а_2, \cdots, а_{100}$ могло быть?
Решение:
Рассмотрим самое левое четное число $a_i$ и самое правое четное число $а_к$. Заметим, что четными являются все суммы с номерами от $i$ до $k - 1$, и только они (в суммах с меньшими номерами первое слагаемое нечетно, а второе четно; в суммах с большими номерами - наоборот). Таким образом, $k - i = 32$. Между $a_i$ и $а_к$ могут стоять как четные, так и нечетные числа - от этого четность сумм не изменится. Количество четных чисел будет наибольшим, если все числа между $a_i$ и $а_к$ также четны. В этом случае количество четных чисел будет равно 33.
Ответ. 33.
