Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1758
2019-01-20 
Число $N$, не делящееся на 81, представимо в виде суммы квадратов трех целых чисел, делящихся на 3. Докажите, что оно также представимо в виде суммы квадратов трех целых чисел, не делящихся на 3.
Решение:
Пусть $N = 9a^2 + 9b^2 + 9c^2$. Если числа $a, b, с$ делятся на 3, то $N$ делится на 81, что неверно. Пусть для определенности $а$ не делится на 3. Если $a + b + c$ делится на 3, то заменим $a$ на $-a$. Таким образом, можно считать, что $a + b + c$ не делится на 3. Тогда $N = 9a^2 + 9b^2 + 9c^2 = (2a + 2b - с)^2 +(2a + 2c - b)^2 + (2b + 2c - а)^2$, где число $2a + 2b - с = 2(а + b + с) - 3c$ не делится на 3; аналогично и с остальными числами. Требуемое представление получено.
Число $N$, не делящееся на 81, представимо в виде суммы квадратов трех целых чисел, делящихся на 3. Докажите, что оно также представимо в виде суммы квадратов трех целых чисел, не делящихся на 3.
Решение:
Пусть $N = 9a^2 + 9b^2 + 9c^2$. Если числа $a, b, с$ делятся на 3, то $N$ делится на 81, что неверно. Пусть для определенности $а$ не делится на 3. Если $a + b + c$ делится на 3, то заменим $a$ на $-a$. Таким образом, можно считать, что $a + b + c$ не делится на 3. Тогда $N = 9a^2 + 9b^2 + 9c^2 = (2a + 2b - с)^2 +(2a + 2c - b)^2 + (2b + 2c - а)^2$, где число $2a + 2b - с = 2(а + b + с) - 3c$ не делится на 3; аналогично и с остальными числами. Требуемое представление получено.
