Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1716
2019-01-20 
Расстоянием между числами $ \overline {a_1a_2a_3a_4a_5}$ и $ \overline {b_1b_2b_3b_4b_5}$ назовем максимальное $i$, для которого $a_i \neq b_i$. Все пятизначные числа выписаны друг за другом в некотором порядке. Какова при этом минимально возможная сумма расстояний между соседними числами?
Решение:
Обозначим через $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ количество пар последовательно идущих чисел, расстояние между которыми равно $1, 2, 3, 4, 5$ соответственно. Так как последних цифр встречается всего 10, то они меняются как минимум 9 раз, следовательно, получаем неравенство:
$x_5 \geq 9$.
Количество пар двух последних цифр - 100, аналогично имеем
$x_4 + x_5 \geq 100 - 1 = 99$,
и так далее получаем еще три соотношения:
$x_3 + x_4 + x_5 \geq 999$,
$x_2 + x_3 + x_4 + x_5 \geq 9999$,
$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 \geq 89999$,
в последнем равенстве и справа, и слева стоит количество всех 5-значных чисел, уменьшенное на 1. Сложив все эти неравенства, получим:
$x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 4x_4 + 5x_5 \geq 101105$.
Заметим, что слева в этом неравенстве у нас как раз получилась сумма расстояний между последовательными числами.
Теперь докажем, что оценка точная. Для каждого числа $n = \overline{a_1a_2a_3a_4a_5}$ рассмотрим число $n^{ \prime} = \overline{a_5a_2a_3a_4a_1}$ (оно может начинаться с нулей, но не может оканчиваться нулем) и запишем числа $n^{ \prime}$ в порядке возрастания. В соответствующем порядке запишем и исходные числа $n$. Заметим, что у чисел $n^{ \prime}$ в таком порядке первая цифра (которая последняя у $n$) меняется 9 раз, первые две цифры - 99 раз и т. д., так как любые первые $k$ цифр чисел $n^{ \prime}$ тоже идут по порядку в данной последовательности. Таким образом, все выписанные выше неравенства обращаются в равенства.
Ответ. 101105
Расстоянием между числами $ \overline {a_1a_2a_3a_4a_5}$ и $ \overline {b_1b_2b_3b_4b_5}$ назовем максимальное $i$, для которого $a_i \neq b_i$. Все пятизначные числа выписаны друг за другом в некотором порядке. Какова при этом минимально возможная сумма расстояний между соседними числами?
Решение:
Обозначим через $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ количество пар последовательно идущих чисел, расстояние между которыми равно $1, 2, 3, 4, 5$ соответственно. Так как последних цифр встречается всего 10, то они меняются как минимум 9 раз, следовательно, получаем неравенство:
$x_5 \geq 9$.
Количество пар двух последних цифр - 100, аналогично имеем
$x_4 + x_5 \geq 100 - 1 = 99$,
и так далее получаем еще три соотношения:
$x_3 + x_4 + x_5 \geq 999$,
$x_2 + x_3 + x_4 + x_5 \geq 9999$,
$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 \geq 89999$,
в последнем равенстве и справа, и слева стоит количество всех 5-значных чисел, уменьшенное на 1. Сложив все эти неравенства, получим:
$x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 4x_4 + 5x_5 \geq 101105$.
Заметим, что слева в этом неравенстве у нас как раз получилась сумма расстояний между последовательными числами.
Теперь докажем, что оценка точная. Для каждого числа $n = \overline{a_1a_2a_3a_4a_5}$ рассмотрим число $n^{ \prime} = \overline{a_5a_2a_3a_4a_1}$ (оно может начинаться с нулей, но не может оканчиваться нулем) и запишем числа $n^{ \prime}$ в порядке возрастания. В соответствующем порядке запишем и исходные числа $n$. Заметим, что у чисел $n^{ \prime}$ в таком порядке первая цифра (которая последняя у $n$) меняется 9 раз, первые две цифры - 99 раз и т. д., так как любые первые $k$ цифр чисел $n^{ \prime}$ тоже идут по порядку в данной последовательности. Таким образом, все выписанные выше неравенства обращаются в равенства.
Ответ. 101105
