Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1612
2019-01-19 
Натуральное число $n$ назовем хорошим, если каждое из чисел $n, n +1, n + 2$ и $n + 3$ делится на сумму своих цифр. (Например, $n = 60398$ - хорошее). Обязательно ли предпоследней цифрой хорошего числа, оканчивающегося восьмеркой, будет девятка?
Решение:
Допустим, что нашлось хорошее число $n = \overline{c_1\cdots c_k8}$ где $c_1,\cdots,c_k$ - цифры, причем $c_k \neq 9$. Тогда $n + 1 = \overline{c_1\cdots c_k9}, n + 3 = \overline{c_1\cdots c^{ \prime}_k1}$, где $c^{ \prime}_k = c_k + 1$. Числа $n + 1$ и $n + 3$ нечетны, а суммы их цифр равны $c_1 + c_2 + \cdots + c_k + 9$ и $c_1 + c_2 + \cdots + c_k + 2$ соответственно. Эти суммы отличаются на 7, и потому одна из них четна. Но четное число не может быть делителем нечетного. Противоречие.
Ответ. Обязательно.
Натуральное число $n$ назовем хорошим, если каждое из чисел $n, n +1, n + 2$ и $n + 3$ делится на сумму своих цифр. (Например, $n = 60398$ - хорошее). Обязательно ли предпоследней цифрой хорошего числа, оканчивающегося восьмеркой, будет девятка?
Решение:
Допустим, что нашлось хорошее число $n = \overline{c_1\cdots c_k8}$ где $c_1,\cdots,c_k$ - цифры, причем $c_k \neq 9$. Тогда $n + 1 = \overline{c_1\cdots c_k9}, n + 3 = \overline{c_1\cdots c^{ \prime}_k1}$, где $c^{ \prime}_k = c_k + 1$. Числа $n + 1$ и $n + 3$ нечетны, а суммы их цифр равны $c_1 + c_2 + \cdots + c_k + 9$ и $c_1 + c_2 + \cdots + c_k + 2$ соответственно. Эти суммы отличаются на 7, и потому одна из них четна. Но четное число не может быть делителем нечетного. Противоречие.
Ответ. Обязательно.
