Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1605
2019-01-19 
Даны числа $1,2, \cdots,N$, каждое из которых окрашено либо в черный, либо в белый цвет. Разрешается перекрашивать в противоположный цвет любые три числа, одно из которых равно полусумме двух других. При каких $N$ всегда можно сделать все числа белыми?
Решение:
Если $k \geq 3$ - наибольшее черное число, то можно перекрасить тройку чисел ($k - 2,k - 1, k$) и далее действовать аналогично до тех пор, пока все числа, кроме, быть может, 1 и 2, не станут белыми.
Если число 2 после этого будет черным, то при $N \geq 8$ перекрашиванием троек $(2, 5, 8), (5, 6, 7)$ и $(6, 7, 8)$ его можно сделать белым (цвет остальных чисел не изменится); затем, если нужно, можно изменить и цвет числа 1 (перекрасив тройки $(1, 4, 7), (4,5, 6)$ и $(5, 6, 7)$.
Случаи $N = 1$ и $N = 2$ очевидны, а для случаев $3 \leq N \leq 7$ заметим, что четность числа черных чисел, принадлежащих множеству $\{2, 3, 5, 6 \}$, при перекрашиваниях не изменяется. Поэтому, если первоначально число 2 - черное, а остальные - белые, то все числа белыми сделать нельзя.
Ответ. При $N \geq 8$.
Даны числа $1,2, \cdots,N$, каждое из которых окрашено либо в черный, либо в белый цвет. Разрешается перекрашивать в противоположный цвет любые три числа, одно из которых равно полусумме двух других. При каких $N$ всегда можно сделать все числа белыми?
Решение:
Если $k \geq 3$ - наибольшее черное число, то можно перекрасить тройку чисел ($k - 2,k - 1, k$) и далее действовать аналогично до тех пор, пока все числа, кроме, быть может, 1 и 2, не станут белыми.
Если число 2 после этого будет черным, то при $N \geq 8$ перекрашиванием троек $(2, 5, 8), (5, 6, 7)$ и $(6, 7, 8)$ его можно сделать белым (цвет остальных чисел не изменится); затем, если нужно, можно изменить и цвет числа 1 (перекрасив тройки $(1, 4, 7), (4,5, 6)$ и $(5, 6, 7)$.
Случаи $N = 1$ и $N = 2$ очевидны, а для случаев $3 \leq N \leq 7$ заметим, что четность числа черных чисел, принадлежащих множеству $\{2, 3, 5, 6 \}$, при перекрашиваниях не изменяется. Поэтому, если первоначально число 2 - черное, а остальные - белые, то все числа белыми сделать нельзя.
Ответ. При $N \geq 8$.
