Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1623
2019-01-19 
Опишите все способы покрасить каждое натуральное число в один из трех цветов так, чтобы выполнялось условие: если числа $а, b$ и $с$ (не обязательно различные) удовлетворяют условию $2000(а + b) = с$, то они либо все одного цвета, либо трех разных цветов.
Решение:
Положим $с = 2000(2d + 2)$. Тогда из равенства $с = 2000((d + 1) + (d + 1))$, следует, что числа $d +1$ и с одного цвета $(a = d + 1, b = d + 1, с = 2000(a + b))$.
С другой стороны, $с = 2000(d + (d + 2))$, значит, числа $d, d + 2$ и $d + 1$ - одного цвета, или трех разных цветов ($a = d, b = d + 2$, а $d + 1$ и $с$ - одного цвета). Значит, любые три последовательных числа либо одного цвета, либо трех разных. Если числа $1, 2, 3$ - одного цвета, то рассматривая последовательно тройки $2, 3, 4; 3, 4, 5$ и т. д., получаем, что все числа - одного цвета. Если $1$ - цвета $A$, $2$ - цвета $B$, $3$ - цвета $C$, то из тройки $2, 3, 4$ получаем, что $4$ - цвета $A$; из тройки $3, 4, 5$: что $5$ - цвета $B$, и т. д.
Пусть $a = 3k_1 + r_1, b = 3k_2 +r_2, с = 3k_3+r_3 (r_1, r_2, r_3$ - остатки чисел $a, b, с$ при делении на 3). Равенство $2000(a + b) = 2000(3k_1 + r_1 + 3k_2 + r_2) = 3M - (r_1 + r_2) = с = 3k_3 + r_3$ возможно только в случае, когда $r_1 + r_2 + r_3$ делится на 3, т. е. либо когда остатки $r_1, r_2, r_3$ равны, либо когда они попарно различны. Отсюда вытекает, что найденные раскраски удовлетворяют условию.
Ответ. Две раскраски: а) все числа одного цвета; б) числа $3k - 2, k \in \mathbb{Z}$ - цвета $A$, числа $3k - 1, k \in \mathbb{Z}$ - цвета $B$, числа $3k, k \in \mathbb{Z}$ - цвета $C$.
Опишите все способы покрасить каждое натуральное число в один из трех цветов так, чтобы выполнялось условие: если числа $а, b$ и $с$ (не обязательно различные) удовлетворяют условию $2000(а + b) = с$, то они либо все одного цвета, либо трех разных цветов.
Решение:
Положим $с = 2000(2d + 2)$. Тогда из равенства $с = 2000((d + 1) + (d + 1))$, следует, что числа $d +1$ и с одного цвета $(a = d + 1, b = d + 1, с = 2000(a + b))$.
С другой стороны, $с = 2000(d + (d + 2))$, значит, числа $d, d + 2$ и $d + 1$ - одного цвета, или трех разных цветов ($a = d, b = d + 2$, а $d + 1$ и $с$ - одного цвета). Значит, любые три последовательных числа либо одного цвета, либо трех разных. Если числа $1, 2, 3$ - одного цвета, то рассматривая последовательно тройки $2, 3, 4; 3, 4, 5$ и т. д., получаем, что все числа - одного цвета. Если $1$ - цвета $A$, $2$ - цвета $B$, $3$ - цвета $C$, то из тройки $2, 3, 4$ получаем, что $4$ - цвета $A$; из тройки $3, 4, 5$: что $5$ - цвета $B$, и т. д.
Пусть $a = 3k_1 + r_1, b = 3k_2 +r_2, с = 3k_3+r_3 (r_1, r_2, r_3$ - остатки чисел $a, b, с$ при делении на 3). Равенство $2000(a + b) = 2000(3k_1 + r_1 + 3k_2 + r_2) = 3M - (r_1 + r_2) = с = 3k_3 + r_3$ возможно только в случае, когда $r_1 + r_2 + r_3$ делится на 3, т. е. либо когда остатки $r_1, r_2, r_3$ равны, либо когда они попарно различны. Отсюда вытекает, что найденные раскраски удовлетворяют условию.
Ответ. Две раскраски: а) все числа одного цвета; б) числа $3k - 2, k \in \mathbb{Z}$ - цвета $A$, числа $3k - 1, k \in \mathbb{Z}$ - цвета $B$, числа $3k, k \in \mathbb{Z}$ - цвета $C$.
