Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1590
2019-01-19 
Среди 2000 внешне неразличимых шариков половина - алюминиевые массой 10г, а остальные - дюралевые массой 9,9г. Требуется выделить две кучки шариков так, чтобы массы кучек были различны, а число шариков в них - одинаково. Каким наименьшим числом взвешиваний на чашечных весах без гирь это можно сделать?
Решение:
Сравним массу каких-либо 667 шариков с массой других 667 шариков. Если массы этих двух кучек не равны, то требуемое достигнуто.
Предположим, что указанные массы равны. Тогда масса 666 шариков, не участвовавших во взвешивании, не равна массе любых других 666 шариков.
В самом деле, если в каждой из взвешенных кучек имеется ровно к дюралевых шариков, то среди любых 666 шариков любой из этих кучек число дюралевых равно $k$ или $k - 1$. При этом среди 666 шариков, не участвовавших во взвешивании, имеется ровно $1000 - 2k$ дюралевых. Остается заметить, что ни равенство $k = 1000 - 2k$, ни равенство $k - 1 = 1000 - 2k$ не может выполняться ни при каком целом $k$.
Ответ. Одним взвешиванием.
Среди 2000 внешне неразличимых шариков половина - алюминиевые массой 10г, а остальные - дюралевые массой 9,9г. Требуется выделить две кучки шариков так, чтобы массы кучек были различны, а число шариков в них - одинаково. Каким наименьшим числом взвешиваний на чашечных весах без гирь это можно сделать?
Решение:
Сравним массу каких-либо 667 шариков с массой других 667 шариков. Если массы этих двух кучек не равны, то требуемое достигнуто.
Предположим, что указанные массы равны. Тогда масса 666 шариков, не участвовавших во взвешивании, не равна массе любых других 666 шариков.
В самом деле, если в каждой из взвешенных кучек имеется ровно к дюралевых шариков, то среди любых 666 шариков любой из этих кучек число дюралевых равно $k$ или $k - 1$. При этом среди 666 шариков, не участвовавших во взвешивании, имеется ровно $1000 - 2k$ дюралевых. Остается заметить, что ни равенство $k = 1000 - 2k$, ни равенство $k - 1 = 1000 - 2k$ не может выполняться ни при каком целом $k$.
Ответ. Одним взвешиванием.
