Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1618
2019-01-19 
Существует ли такое натуральное число, что произведение всех его натуральных делителей (включая 1 и само число) оканчивается ровно на 2001 ноль?
Решение:
Покажем, что первое число подходит. Для этого выпишем все его делители, кратные пяти:
$5, 5 \cdot 2, 5 \cdot 2^2, 5 \cdot 2^3, \cdots 5 \cdot 2^{2000}$.
Их произведение будет делиться на 5 в 2001-й степени и не будет делиться на 5 в 2002 степени. Следовательно, произведение всех делителей числа $5 \cdot 2^{2000}$ будет кратно 10 в 2001-й степени и не кратно $5 \cdot 10^{2001}$. Поэтому оно оканчивается ровно на 2001 ноль.
Ответ. Существует. Например, $5 \cdot 2^{2000}$ или $2 \cdot 5^{2000}$.
Существует ли такое натуральное число, что произведение всех его натуральных делителей (включая 1 и само число) оканчивается ровно на 2001 ноль?
Решение:
Покажем, что первое число подходит. Для этого выпишем все его делители, кратные пяти:
$5, 5 \cdot 2, 5 \cdot 2^2, 5 \cdot 2^3, \cdots 5 \cdot 2^{2000}$.
Их произведение будет делиться на 5 в 2001-й степени и не будет делиться на 5 в 2002 степени. Следовательно, произведение всех делителей числа $5 \cdot 2^{2000}$ будет кратно 10 в 2001-й степени и не кратно $5 \cdot 10^{2001}$. Поэтому оно оканчивается ровно на 2001 ноль.
Ответ. Существует. Например, $5 \cdot 2^{2000}$ или $2 \cdot 5^{2000}$.
