Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1640
2019-01-20 
Написанное на доске четырехзначное число можно заменить на другое, прибавив к двум его соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не равна 9; либо, вычтя из соседних двух цифр по единице, если ни одна из них не равна 0. Можно ли с помощью таких операций из числа 1234 получить число 2002?
Решение:
Первое решение. Из последней цифры можно получить 2 только, прибавив к двум последним цифрам a раз по единице и вычтя из них $a + 2$ раза по единице. Эти операции уменьшают цифру, стоящую на третьем месте, на 2. Аналогично, операции, превращающие первую цифру в 2, увеличат вторую цифру на 1. Ясно, что порядок операций можно менять, если рассматривать четырехзначное число как четверку целых чисел (возможно отрицательных, либо превосходящих 9). Выполнив вначале операции, заменяющие 4 на 2 и 1 на 2, мы получим число 2312, которое операциями над двумя средними цифрами нельзя превратить в 2002.
Второе решение. Пусть на доске написано число $\overline {abcd}$. Тогда рассматриваемые операции не изменяют число $М = (d + b) - (a + с)$, так как они увеличивают (уменьшают) на единицу одно число из первой скобки, и одно число - из второй. Для числа $1234 М_1 = (4 + 2) - (1 + 3) = 2$, для числа $2002 М_2 = (2 + 0) - (2 + 0) = 0$. Поэтому требуемое невозможно.
Ответ. Нельзя.
Написанное на доске четырехзначное число можно заменить на другое, прибавив к двум его соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не равна 9; либо, вычтя из соседних двух цифр по единице, если ни одна из них не равна 0. Можно ли с помощью таких операций из числа 1234 получить число 2002?
Решение:
Первое решение. Из последней цифры можно получить 2 только, прибавив к двум последним цифрам a раз по единице и вычтя из них $a + 2$ раза по единице. Эти операции уменьшают цифру, стоящую на третьем месте, на 2. Аналогично, операции, превращающие первую цифру в 2, увеличат вторую цифру на 1. Ясно, что порядок операций можно менять, если рассматривать четырехзначное число как четверку целых чисел (возможно отрицательных, либо превосходящих 9). Выполнив вначале операции, заменяющие 4 на 2 и 1 на 2, мы получим число 2312, которое операциями над двумя средними цифрами нельзя превратить в 2002.
Второе решение. Пусть на доске написано число $\overline {abcd}$. Тогда рассматриваемые операции не изменяют число $М = (d + b) - (a + с)$, так как они увеличивают (уменьшают) на единицу одно число из первой скобки, и одно число - из второй. Для числа $1234 М_1 = (4 + 2) - (1 + 3) = 2$, для числа $2002 М_2 = (2 + 0) - (2 + 0) = 0$. Поэтому требуемое невозможно.
Ответ. Нельзя.
