Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1593
2019-01-19 
Рассматриваются 2000 чисел: $11, 101, 1001,\cdots$ Докажите, что среди этих чисел не менее 99% составных.
Решение:
Если $p$ - нечетный простой делитель числа $n$, то $10^n + 1 = {(10^{n/p})}^p + 1$ делится на $10^{n/p} + 1$. Значит, число $10^n + 1$ может оказаться простым лишь при $n = 2^k$. Но чисел вида $10^{2^k} + 1$ среди рассматриваемых лишь $11: 11, 101,\cdots, 10^{2^{10}} +1$. Утверждение задачи доказано: $11 < \frac{1}{100} \cdot 2000$.
Замечание. «Подозрительные» числа могут оказаться и составными: $10^4 + 1 = 73 \cdot 137, 10^8 + 1 = 17 \cdot 5882353$.
Рассматриваются 2000 чисел: $11, 101, 1001,\cdots$ Докажите, что среди этих чисел не менее 99% составных.
Решение:
Если $p$ - нечетный простой делитель числа $n$, то $10^n + 1 = {(10^{n/p})}^p + 1$ делится на $10^{n/p} + 1$. Значит, число $10^n + 1$ может оказаться простым лишь при $n = 2^k$. Но чисел вида $10^{2^k} + 1$ среди рассматриваемых лишь $11: 11, 101,\cdots, 10^{2^{10}} +1$. Утверждение задачи доказано: $11 < \frac{1}{100} \cdot 2000$.
Замечание. «Подозрительные» числа могут оказаться и составными: $10^4 + 1 = 73 \cdot 137, 10^8 + 1 = 17 \cdot 5882353$.
