Дискриминанты трех приведенных квадратных трехчленов равны 1, 4 и 9. Докажите, что можно выбрать по одному корню каждого из них так, чтобы их сумма равнялась сумме оставшихся корней.
Подробнее
Разрежьте круг на несколько равных частей так, чтобы центр круга не лежал на границе хотя бы одной из них.
Подробнее
По кругу расставлены 2005 натуральных чисел. Докажите, что найдутся два соседних числа такие, что после их выкидывания оставшиеся числа нельзя разбить на две группы с равной суммой.
Подробнее
Клетчатый бумажный квадрат 8×8 согнули несколько раз по линиям клеток так, что получился квадратик 1 × 1. Его разрезали по отрезку, соединяющему середины двух противоположных сторон квадратика. На сколько частей мог при этом распасться квадрат?
Подробнее
В сосуд с водой опущена труба диаметром d. В трубу поместили шарик того же диаметра. Центр шарика оказался на глубине h. Найдите плотность вещества шарика. Зазор между трубой и шариком отсутствует. Сила трения между ними равна нулю.
Подробнее
Шарик, наполненный гелием, прикреплен нитью к полу вагона, движущегося с постоянной скоростью $v = 100 км/ч$ по окружности радиусом $R = 2,3 км$. На какой угол $\alpha$ и в какую сторону от вертикали отклоняется нить?
Подробнее
Две одинаковые батисферы плавают во взвешенном состоянии, первая на глубине 2d, вторая — на глубине d (d = 1 км). В начальный момент времени первая батисфера сбрасывает балласт и начинает всплывать. Когда она всплывает до глубины d, вторая
батисфера сбрасывает балласт и начинает всплывать. Первая батисфера появилась на поверхности воды на Т = 10 с раньше второй. Известно, что первая батисфера вторую половину своего пути двигалась с практически постоянной скоростью $v_{0} = 1 м/с$. Найдите выталкивающую силу. Масса батисферы без балласта равна m. (Cилу сопротивления движению батисферы со стороны воды можно считать прямо пропорциональной скорости батисферы.
Подробнее
Свинцовый и алюминиевый шарики одинакового радиуса $r$ связаны невесомой нерастяжимой нитью, длина которой намного больше размера шариков. Шарики опустили в сосуде глицерином. После этого они пришли в движение с нулевой начальной скоростью. Сила сопротивления движению шариков пропорциональна их скорости, причем коэффициент пропорциональности одинаков для обоих шариков. Найдите силу натяжения нити при установившейся скорости движения шариков. Плотности алюминия и свинца $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$.
Подробнее
Как спустить с крыши высотой $h = 16 м$ груз массой $m = 45 кг$ c помощью веревки, у которой сопротивление $Т$ на разрыв равно $400 H$? Скорость тела в момент удара о землю не должна превышать значения $v_{max} = 7 м/с$. Длина веревки немного превосходит высоту дома.
Подробнее
Змея, лежащая на полу, начинает подниматься с вертикальной скоростью $v$. Найдите силу давления на пол, если змея однородная, масса ее равна $m$, длина $l$
Подробнее
Мячик падает в воздухе с очень большой высоты и абсолютно упруго ударяется о землю. Найдите ускорение мячика сразу после удара, считая силу сопротивления, действующую на мячик со стороны воздуха, пропорциональной его скорости.
Подробнее
Тело массой m стоит на горизонтальной плоскости. К телу приложена сила $F$ под углом $\alpha$ к горизонту. При каких значениях коэффициента трения $\mu$ между телом и плоскостью оно останется неподвижным?
Подробнее
Чтобы вытащить пробку, застрявшую в горлышке термоса, в нее втыкают тонкое шило. Под каким углом $\theta$ к оси термоса можно втыкать шило, не опасаясь, что пробка провалится внутрь термоса? Коэффициент трения пробки о стенки горлышка $\mu = 0,5$.
Подробнее
Тело массой $m$ прижимают к потолку с силой $F$, направленной под углом $\alpha$ к горизонту. При каких значениях коэффициента трения $\mu$ между телом и потолком тело останется неподвижным?
Подробнее
Известно, что сила сухого трения между двумя телами практически не зависит от площади соприкосновения этих тел. Однако чем глубже вставлена пробка в горлышко бутылки, тем труднее ее вынуть. Почему?
Подробнее
