Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 14
2014-06-07 
Дискриминанты трех приведенных квадратных трехчленов равны 1, 4 и 9. Докажите, что можно выбрать по одному корню каждого из них так, чтобы их сумма равнялась сумме оставшихся корней.
Решение:
Из формулы корней квадратного уравнения следует, что если $x_{1}$ и $x_{2}$—корни квадратного трехчлена $x^{2} +px+q$, причем $x_{1} \geq x_{2}$, а D—дискриминант этого трехчлена, то $x_{1} - x_{1} =\sqrt{D}$. Действительно,
$x_{1} - x_{2} = \frac{-b+\sqrt{D}}{2} - \frac{-b-\sqrt{D}}{2}=\sqrt{D}$
Обозначим корни данных приведенных квадратных трехчленов через $x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}, z_{1}, z_{2} $ так, чтобы$x_{1} \geq x_{2}$, $y_{1} \geq y_{2}$ и $z_{1} \geq z_{2}$. Тогда, в силу приведенной выше формулы, $x_{1} - x_{2} =\sqrt{1}=1$ , $y_{1} - y_{2} =\sqrt{9}=3$ и $z_{1} - z_{2} =\sqrt{9}=3$
Следовательно,
$ (x_{1} - x_{2})+ (y_{1} - y_{2})=3=z_{1} - z_{2}$
откуда $x_{1} +y_{1} +z_{2} =x_{2} +y_{2} +z_{1}$.
Дискриминанты трех приведенных квадратных трехчленов равны 1, 4 и 9. Докажите, что можно выбрать по одному корню каждого из них так, чтобы их сумма равнялась сумме оставшихся корней.
Решение:
Из формулы корней квадратного уравнения следует, что если $x_{1}$ и $x_{2}$—корни квадратного трехчлена $x^{2} +px+q$, причем $x_{1} \geq x_{2}$, а D—дискриминант этого трехчлена, то $x_{1} - x_{1} =\sqrt{D}$. Действительно,
$x_{1} - x_{2} = \frac{-b+\sqrt{D}}{2} - \frac{-b-\sqrt{D}}{2}=\sqrt{D}$
Обозначим корни данных приведенных квадратных трехчленов через $x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}, z_{1}, z_{2} $ так, чтобы$x_{1} \geq x_{2}$, $y_{1} \geq y_{2}$ и $z_{1} \geq z_{2}$. Тогда, в силу приведенной выше формулы, $x_{1} - x_{2} =\sqrt{1}=1$ , $y_{1} - y_{2} =\sqrt{9}=3$ и $z_{1} - z_{2} =\sqrt{9}=3$
Следовательно,
$ (x_{1} - x_{2})+ (y_{1} - y_{2})=3=z_{1} - z_{2}$
откуда $x_{1} +y_{1} +z_{2} =x_{2} +y_{2} +z_{1}$.
