2014-05-29
Две одинаковые батисферы плавают во взвешенном состоянии, первая на глубине 2d, вторая — на глубине d (d = 1 км). В начальный момент времени первая батисфера сбрасывает балласт и начинает всплывать. Когда она всплывает до глубины d, вторая
батисфера сбрасывает балласт и начинает всплывать. Первая батисфера появилась на поверхности воды на Т = 10 с раньше второй. Известно, что первая батисфера вторую половину своего пути двигалась с практически постоянной скоростью $v_{0} = 1 м/с$. Найдите выталкивающую силу. Масса батисферы без балласта равна m. (Cилу сопротивления движению батисферы со стороны воды можно считать прямо пропорциональной скорости батисферы.
Решение:
Сила сопротивления движению батисферы $F = - kv$, где $v$ - ее скорость относительно воды; $к$ - постоянный коэффициент (знак минус указывает на то, что сила сопротивления направлена против скорости). Уравнение движения батисферы без балласта:
$ma = -kv + F_{A} - mg$. (1)
При установившемся движении со скоростью $v_{0}$ уравнение (1) принимает вид
$0= -kv_{0} + F_{A}-mg$. (2)
Теперь можно переписать уравнение (1) так:
$ma = -k(v – v_{0})$. (3)
Применим это уравнение к движению второй батисферы. В скобках в правой части этого уравнения стоит относительная скорость двух батисфер на втором этапе движения. Умножим равенство (3) на $\Delta t \|| T$ и учтем, что $a \Delta t = \Delta v$ - изменение скорости второй батисферы, а $(v_{0}— v) \Delta t = \Delta S$ - изменение расстояния между батисферами. Их связь следует из уравнения (3):
$m \Delta v = k \Delta S$. (4)
В момент всплытия первой батисферы вторая будет находиться на глубине $S \approx v_{0}T = 10 м$ - много меньше d. Это означает, что наше приближение достаточно точное и в этот момент вторая батисфера будет двигаться с установившейся скоростью $v_{0}$ (как и первая в конце первой половины пути).
Переходя в уравнении (4) от бесконечно малых к конечным изменениям скорости и расстояния (т. е. складывая уравнения (4) для всего времени подъема двух батисфер), получаем связь типа $mv_{0} = kS =kv_{0}T$, или $к = m/Т$. С учетом этого значения коэффициента $k$ получаем из уравнения (2) ответ:
$F_{a} = mg + \frac{mv_{0}}{T}=mg \left ( 1+\frac{v_{0}}{gT} \right ) \approx 1,01mg$