2014-05-29
В сосуд с водой опущена труба диаметром d. В трубу поместили шарик того же диаметра. Центр шарика оказался на глубине h. Найдите плотность вещества шарика. Зазор между трубой и шариком отсутствует. Сила трения между ними равна нулю.
Решение:
Пусть $m$ и $\rho$ —масса и плотность шарика, $V =\frac{4}{3}\pi \left ( \ \frac{d}{2} \right )$ - его объем. Рассмотрим действующие на шарик силы. Это сила тяжести $mg$, направленная вниз, и направленная вверх сила давления воды $Q$, действующая на обращенную вниз поверхность шарика. Так как шарик покоится, то по II закону Ньютона имеем:
$mg-Q = 0$. (1)
Найдем силу $Q$. Для этого мысленно удалим шарик и дольем в трубу воду так, чтобы уровень воды в трубе был тот же, что и снаружи. Очевидно, что при этом система останется в равновесии. Следовательно,
$Mg-Q = 0$, (2)
где $M$—масса долитой воды. Сравнив (1) и (2), найдем, что
$m = М, \rho_{1}V_{1}=\rho V$, (3)
где $\rho_{1}$ — плотность воды и
$V_{1}=\pi \left( \frac{d}{2} \right)^{2}h+\frac{2\pi}{3} \left( \frac{d}{2} \right)^{3}$
— объем долитой воды (он складывается из объема цилиндра высотой h с площадью основания $\pi(\frac{d}{2})^{2}$ и из объема половины шарика).
Из (3) и (4) найдем:
$\rho=\rho_{1}\frac{1+3h/d}{2}$