Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16
2014-06-07 
По кругу расставлены 2005 натуральных чисел. Докажите, что найдутся два соседних числа такие, что после их выкидывания оставшиеся числа нельзя разбить на две группы с равной суммой.
Решение:
Пусть это не так, то есть после выкидывания любых двух соседних чисел оставшиеся числа можно разбить на две группы с равной суммой. Предположим сначала,
что все числа четны. Поделим все числа на два. Заметим, что указанное свойство сохранится после деления, т. е. опять после выкидывания любых двух соседних чисел оставшиеся числа можно разбить на две группы с равной суммой. Поэтому, поделив при необходимости все числа набора на 2 несколько раз, можно считать, что среди всех 2005 чисел есть хотя бы одно нечетное.
Рассмотрим два случая: сумма всех чисел четна и сумма всех чисел нечетна. В первом случае все 2005 чисел нечетными быть не могут, т. е. среди них есть как четные, так и нечетные числа. Тогда среди них можно найти четное и нечетное числа, стоящие рядом, и выкинуть их. Сумма оставшихся чисел будет нечетной, значит, их нельзя разбить на две группы с равной суммой, и мы приходим к противоречию.
Пусть теперь сумма всех 2005 чисел нечетна. Заметим, что обязательно найдутся два числа одной четности, стоящие рядом,- в противном случае четные и нечетные числа чередовались бы, что невозможно, поскольку 2005 - нечетное число.
Выкинув эти два числа, мы получим 2003 числа, сумма которых нечетна, значит, их нельзя разбить на две группы с равной суммой—противоречие.
По кругу расставлены 2005 натуральных чисел. Докажите, что найдутся два соседних числа такие, что после их выкидывания оставшиеся числа нельзя разбить на две группы с равной суммой.
Решение:
Пусть это не так, то есть после выкидывания любых двух соседних чисел оставшиеся числа можно разбить на две группы с равной суммой. Предположим сначала,
что все числа четны. Поделим все числа на два. Заметим, что указанное свойство сохранится после деления, т. е. опять после выкидывания любых двух соседних чисел оставшиеся числа можно разбить на две группы с равной суммой. Поэтому, поделив при необходимости все числа набора на 2 несколько раз, можно считать, что среди всех 2005 чисел есть хотя бы одно нечетное.
Рассмотрим два случая: сумма всех чисел четна и сумма всех чисел нечетна. В первом случае все 2005 чисел нечетными быть не могут, т. е. среди них есть как четные, так и нечетные числа. Тогда среди них можно найти четное и нечетное числа, стоящие рядом, и выкинуть их. Сумма оставшихся чисел будет нечетной, значит, их нельзя разбить на две группы с равной суммой, и мы приходим к противоречию.
Пусть теперь сумма всех 2005 чисел нечетна. Заметим, что обязательно найдутся два числа одной четности, стоящие рядом,- в противном случае четные и нечетные числа чередовались бы, что невозможно, поскольку 2005 - нечетное число.
Выкинув эти два числа, мы получим 2003 числа, сумма которых нечетна, значит, их нельзя разбить на две группы с равной суммой—противоречие.
