2014-05-29
Тело массой m стоит на горизонтальной плоскости. К телу приложена сила $F$ под углом $\alpha$ к горизонту. При каких значениях коэффициента трения $\mu$ между телом и плоскостью оно останется неподвижным?
Решение:
На тело действуют силы (рис.)
тяжести $mg$, реакции опоры $Q$, трения $F_{T}$ и внешняя $F$. По условию задачи тело находится в покое, поэтому сумма сил, действующих на него, равна нулю:
$F + mg + F_{T} + Q = 0$. (1)
При этом сила трения покоя
$|F_{T}| \geq \mu N$, (2)
где $N$ - величина силы нормального давления. (ПоIII закону Ньютона $N = |Q|$.)
Спроецируем уравнение (1) на вертикальное и горизонтальное направления:
$Q + Fsin \alpha - mg = 0$, (3)
$F cos \alpha – F_{T} = 0$. (4)
Решая уравнения (3) и (4) относительно $Q$ и $F_{T}$ и подставляя результат в (2), получаем неравенство
$F cos \alpha < \mu (- F sin \alpha + mg)$. (5)
Если $ \alpha > 0$, то правая часть этого неравенства может стать отрицательной при $sin \alpha > mg/F$. Но при этом из уравнения (3) следует $Q < 0$, что противоречит условию задачи. Следовательно, правая
часть неравенства (5) положительна, и можно найти допустимые значения $\mu$ :
$\mu \leq \frac{f cos \alpha}{mg – F sin \alpha}$ (6)
Заметим, что при $\alpha < 0$ и $ \mu > | ctg \alpha | $ неравенство (6) выполняется при сколь угодно большой силе $F$.