Разделы 
Дополнительно
Задача по физикe - 6
2014-05-29 
Свинцовый и алюминиевый шарики одинакового радиуса $r$ связаны невесомой нерастяжимой нитью, длина которой намного больше размера шариков. Шарики опустили в сосуде глицерином. После этого они пришли в движение с нулевой начальной скоростью. Сила сопротивления движению шариков пропорциональна их скорости, причем коэффициент пропорциональности одинаков для обоих шариков. Найдите силу натяжения нити при установившейся скорости движения шариков. Плотности алюминия и свинца $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$.
Решение:
Исследуем сначала движение одного свободного шарика, имеющего плотность $\rho$. Обозначим объем шарика $V$. На шарик действуют три силы: сила тяжести $\rho Vg$, направленная вниз, выталкивающая сила $F_{a}$, направленная вверх, и сила сопротивления $kv$, направленная против скорости шарика $v$. Применяя к движению шарика II закон Ньютона, получаем
$\rho Va=\rho Vg + F_{a}-kv$
где а - ускорение шарика в тот момент, когда его скорость равна v. Если в начальный момент скорость шарика равна нулю, он начнет двигаться вниз с некоторым ускорением. По мере увеличения скорости сила сопротивления возрастает, ускорение будет уменьшаться и при достижении скорости
$v_{max}=\frac{\rho Vg-F_{a}}{k}$ (1)
станет равным нулю. При этом равнодействующая всех сил, приложенных к шарику, обратится в ноль, и движение продолжится с постоянной скоростью $v=v_{max}$.
Нетрудно показать, что независимо от величины и направления начальной скорости установившееся движение шарика - это вертикальное падение с постоянной скоростью. Из формулы (1) следует, что чем больше плотность шарика, тем больше скорость его установившегося движения.
Рассмотрим теперь движение связанных шариков. Поскольку нить длинная, величина взаимодействия любого из шариков с глицерином не будет зависеть от присутствия второго шарика и будет такой же, как и в его отсутствие. Между собой шарики взаимодействуют только посредством натяжения нити.
При установившемся движении шарики будут двигаться вертикально вниз с некоторой скоростью v, нить будет расположена вертикально и натянута, внизу будет находиться более тяжелый свинцовый шарик.
Уравнения установившегося вертикального движения шариков:
$\rho{1} Vg-kv-F_{a}+T=0$
$\rho{2} Vg-kv-F_{a}-T=0$
С учетом выражения для объема шарика $V=\frac{4}{3} \pi r^{3}$ находим
$T=\frac{4}{3} \pi r^{3}g \frac{\rho{2}-\rho{1}}{2}$
Свинцовый и алюминиевый шарики одинакового радиуса $r$ связаны невесомой нерастяжимой нитью, длина которой намного больше размера шариков. Шарики опустили в сосуде глицерином. После этого они пришли в движение с нулевой начальной скоростью. Сила сопротивления движению шариков пропорциональна их скорости, причем коэффициент пропорциональности одинаков для обоих шариков. Найдите силу натяжения нити при установившейся скорости движения шариков. Плотности алюминия и свинца $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$.
Решение:
Исследуем сначала движение одного свободного шарика, имеющего плотность $\rho$. Обозначим объем шарика $V$. На шарик действуют три силы: сила тяжести $\rho Vg$, направленная вниз, выталкивающая сила $F_{a}$, направленная вверх, и сила сопротивления $kv$, направленная против скорости шарика $v$. Применяя к движению шарика II закон Ньютона, получаем
$\rho Va=\rho Vg + F_{a}-kv$
где а - ускорение шарика в тот момент, когда его скорость равна v. Если в начальный момент скорость шарика равна нулю, он начнет двигаться вниз с некоторым ускорением. По мере увеличения скорости сила сопротивления возрастает, ускорение будет уменьшаться и при достижении скорости
$v_{max}=\frac{\rho Vg-F_{a}}{k}$ (1)
станет равным нулю. При этом равнодействующая всех сил, приложенных к шарику, обратится в ноль, и движение продолжится с постоянной скоростью $v=v_{max}$.
Нетрудно показать, что независимо от величины и направления начальной скорости установившееся движение шарика - это вертикальное падение с постоянной скоростью. Из формулы (1) следует, что чем больше плотность шарика, тем больше скорость его установившегося движения.
Рассмотрим теперь движение связанных шариков. Поскольку нить длинная, величина взаимодействия любого из шариков с глицерином не будет зависеть от присутствия второго шарика и будет такой же, как и в его отсутствие. Между собой шарики взаимодействуют только посредством натяжения нити.
При установившемся движении шарики будут двигаться вертикально вниз с некоторой скоростью v, нить будет расположена вертикально и натянута, внизу будет находиться более тяжелый свинцовый шарик.
Уравнения установившегося вертикального движения шариков:
$\rho{1} Vg-kv-F_{a}+T=0$
$\rho{2} Vg-kv-F_{a}-T=0$
С учетом выражения для объема шарика $V=\frac{4}{3} \pi r^{3}$ находим
$T=\frac{4}{3} \pi r^{3}g \frac{\rho{2}-\rho{1}}{2}$
